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Note02[L Summary last lecture HEAT CAPACITY OF SOLIDS BOLTZMANN picture obtains C/N = 3kB good but not at low temperatures EINSTEIN figures ou what is wrong] Quantized levels, when the temperature drops below the energy level searoparation [L C DROPS AT LOW T EXPONENTIALLY esperimentally C/N ~T^3 at low T //Todays lesson DEBYE THEORY (1912)] [Debye thought atoms are not isolated oscillators, they are coupled (one atom pushes another atom that pushes another atom e così via. La soluzione è VIBRAZIONI = ONDE = SUONO] Planck (1900): "act of desperation", non sapeva cosa stava facendo: quantizzazione della luce. Debye pensa che deve QUANTIZZARE COME LA LUCE Traducendo in linguaggio moderno dobbiamo pensare ai modi in una scatola (*** vedi sotto) [C Einstein: <E>osc = hbar omega (nB(beta hbar omega) + 1/2) (1/2 for rhe zero point motion) nella scatola <E>TOT = sum_modes in the box hbar omega_mode (nB(beta hbar omega_mode) + 1/2) leave space below! L'idea è che mentre per E quando kBT < hbar omega C deve crollare, qui ci sarà sempre qualche modo nella scatola per cui hbar omega è maggiore di kBT e quel modo contribuirà a C e C non crollerà esponenzialmente.] il conto di Debye è diverso da quello di Planck in un paio di punti, perchè la luce è diversa dal suono. Una differenza è c , ma è solo quantitativa. Più significative, che dobbiamo considerare [R LUCE vs SUONO 2 POLARIZZAZIONI vs 3 POLARIZZAZIONI luce, radiazione EM non può essere lungiitudinale il suono può esser sia longitudinale che trasversale movie (wikipedia gif of long and transv sound wave) 7:00 simplifying assumptions ASSUME vs INDEPENDENT OF POLARIZATION (not true, T normally slower than L) non si impara molto a farlo giusto, un esercizio chiede di rifare il conto giusto) ASSUME vs INDEPENDENT OF DIRECTION (not true, sound velocity depends on direction in a solid, see later in the course)] [L COUNTING MODES IN A BOX explains what a mode is, l'avrete già visto ma lo useremo un sacco, quindi occorre rivederlo bene 1D BOX (draw an segment length L, write a wave in the box SIN (n pi x /L) to send it to zero at both ends (boundary conditions):questa è un onda sulla corda della chitarra] [L lo stesso fatto con le CONDIZIONI PERIODICHE AL CONTORNO (BORN VON KARMAN) Max Born fondatore della QM e nonno di Olivia Newton John Theodore Von Karman mathematician. prendi la corda e arrotolala in una circonferenza di lunghezza L (disegna) la ragione è che le onde ora possono essere e^ikx ma la coordinata circolare è tale che e^ikx 0 e^ik(x+L) or e^ikL = 1 or k = 2pi/L n with n integer ] [L SPACING BETWEEN ALLOWED k is 2pi/L so whenever we have to sum_k we can replace by L/2pi int dk (l'avete già visto penso) 12:50 //in 3D LxLxL PERIODIC BOX (non esiste in 3D! ma non importa perchè alcoliamo quantità locali, che non dipendono dalle BC, si possono usare BC fisse, o periodiche, il risultato viene lo stesso, solo così è più facile] [L la ragione per cui è facile è che le onde sono e^i vec K dot vec x ancora un'esponenziale vi va bene? in questo modo vec k = 2pi/L(nx,ny,nz) (notare che n, quindi k può andare all'infinito qui) e sum_vec k -> (L/2pi)^3int dkx int dky int dkz -> V int dk^3/(2pi)^3, sometimes V int d vec k /(2 pi)^2] (lo useremo un sacco) [C go back below <E>TOT sum_modes -> 3 sum_vec k (3 comes from 3 polarizations) 15:16] [C-> 3 V int d vec k /(2 pi)^3 facciamo il calcolo assumendo che tutto è isotropo (indicare le ASSUME più sopra) passiamo da artesiano a polare 3V/(2pi)^3 int_0^infty 4pi k^2dk (4pi è l'integrale sulle dimensioni angolare della sfera, abbiamo visto che k può andare all'infinito for sound omega = v k (lo sapete dalla Fisica 1), e si può fare un cambiamento di var da k a omega 3V4pi/2pi)^3 v^3 int omega^2 d omega = int_0^infty g(omega) d omega g(omega) = [12pi/(2pi)^3v^3 N/(N/V)] omega^2 N/V is density] [R g(omega) is DENSITY OF STATES how many modes you have at a given freq g(omega)d omega = NUM DI MODI CON FREQ TRA omega E omega + d omega così se vuoi sommare su tutti i modi invece integri sulla frequenza moltiplicando ogni frequenza per il numero di modi a quella frequenza] [C semplifichiamo ulteriormente scrivendo g(omega) = N 9 omega^2/ omega_D^3 che equivale a definire omega_D^3 = 6 pi^2 (N/V) v^3 <_ DEBYE FREQUENCY per ora solo una definizione con cui] [L <E>TOT = int_0^infty d omegag(omega) hbar omega [nB(beta hbar omega) + 1/2] dovete arrabbiarvi con me perchè è infinita, a causa del fattore 1/2, infatti g(omega) ~ omega^2, c'èe un'altro fattore omega e omega^3 integrato fino a infinito dà infinito. Debye non ce l'aveva perchè non sapeva nulla dell'energia di punto zero e non aveva scritto quel termine. Non disturba neppure noi perchè non dipende da T.Per calcolare C dovremo derivare rispetto a T e la derivata di questo infinito è nulla. 21:30 C'è un'altra ragione che emergerà tra poco e l'energia di punto zero non sarà un più un problema. Ignorando il termine 1/2 scriviamo = 9N hbar/omega_D^3 int_0^infty domega omega^3/(e^beta hbar omega -1 e ponendo x= beta hbar omega l'integrale diventa (1/beta hbar)^4 int_0^infty dx x^3/(e^x-1) l'integrale vale pi^4/15 (è solo una costante)
infine E = 9N (kBT)^4/(hbar omega_D)^3 pi^4/15 23:20 derivando C = del E/del T = N kB (kB T/hbar omega_D)^3 12pi^4/5 ] prop a T^3 come voleva Debye, non è sorprendente perchè l'energia del corpo nero è proporzionale a T^4 e la rderivata viene T^3. Per questo Debye si attendeva di trovare questa proporzionalità. In altri termini la capacità termica del corpo nero segue una legge simile, 2/3 Inoltre è entusiasmante che non contiene paramtetri liberi, se calcoliamo questa costante e la confrontiamo con la capacità termica dei materiali, l'accordo è molto buono. Ma niente è gratis, c'è sempre un problema [C PROBLEM AT HIGH T WE WANT THE LAW OF DULONG & PETIT C/N = 3kB e non va bene, abbiamo T^3 a tutte le T qui. Tra parentesi per la radiazioen EM è vero che T^3 vale per tutte le T Deve esserci una differenza da Planck. Il 3 viene dai DOF. Ma i DOF sono il nuemro di modi N MODES = int_0^infty g(w) dw ~ int_0^infty w^2 dw -> infinity (è chiaro che DOF e MODES devono avere lo stesso numero?)] aggiustamento ad hoc [C IMPOSE CUTOFF \int_0^w_cutoff g(w)dw = 3N sembra un trucco, ma è certo che il numero di DOF non è inifinito. Debye non si sapeva cosa potesse limitare la frequenza, ma è chiaro che non può esserci una frequenza infinita in un materiale (s rompe!). Diventa un parametro da fittare plug in g(w) and calculate the cutoff \int_0^w_cutoff 9 N w^2/w_D^3 dw = 3 N w_cutoff^3/w_D^3 = 3N deve essere w_cutoff = wD] per questo ho definito wD come ho fatto, in modo che coincidesse con questo cutoff. Ora ricalcoliamo l'energia 29:20 [C E = int_0^wD g(w) dw [NB(beta hbar omega) + 1/2] <-DROP ZPE non diverge più, ma possiamo ignorarla comunque per il motivo di prima, quale? LOW T kB T << hbar w SAME RESULT why? because at low T for w close to wD beta hbar w >> 1 the Bose factor -> e^-beta hbar w is anyway zero lil cutoff non fa effetto e si ottiene C ~ T^3 come prima, identico HIGH T kB T << hbar w il Bose factor è 1/(e^beta hbar w -1) = 1/(1+beta hbar w + ... -1) = 1/beta hbar w nB = kB T/ hbar wro <E>TOT - ZPE = int_0^wD dw g(w) hbar w kB T / hbar w = kB T int_0^wD g(w) dw <- 3N C = del E /del T = 3 N kB DULONG e PETIT 32:20non può più [Aggiungei considerazioni su quanto vale TD per diversi metalli] Mostriamo dati Ag No free parameters, fixed by speed of sound that is measured. [C but STILL WRONG
C = alpha T^3 + gamma T con alpha da Debye, ma di gamma non abbiamo idea per ora (tra un paio di lezioni) Ma Ag è un metallo, perchè non si vede? sembrava un fit di Debye perfetto. Perchè il termine lineare si vede solo a bassa temperature: slide PP con C/T= gamma + alpha T^2 vs T^2 Ag tra 0 e 18 K, gamma is the intercept, very small but measurable 36.20 History of metals: alcuni materiali balzano all'attenzione e la civiltà si sviluppa imparando ad utilizzarli, età del bronzo (rame), del ferro, utensili, spade, armature, edifici, macchine, metalli pesanti nell'era nucleare, ecc. ecc Solo alla fine dell'800 ci si rese conto del perchè i metalli sono differenti. Innanzitutto conducono l'elettricità, che non era nota prima dell'800 JJ Thomson scopre l'elettrone nel 1897, charged corpuscle that can move in metals and be ejected under sufficiently high voltage. Il metallo è un contenitore per questi elettroni, moltissimi, e divenne naturale considerarli un gas, un gas di elettroni. [Paul DRUDE THEORY (of transport/metals) KINETIC THEORY OF e- very much like the k.t. of gases] Funziona benissimo, specie per i semiconduttori [R ASSUME
[PROBABILITY OF SCATTERING IN TIME dt] = dt/tau come kt of gas, dove si stima tau; qui non si può, perchè la scattering cross section degli elettroni è difficile da stimare anche perchè è dovuta a forza di Coulob a lungo range e e- scattera su e-, protoni, ioni, altri oggett ancora quindi tau resta un parametro fenomenologico AFTER A SCATTERING EVENT we set vec P_F = 0 finale. N on è vero per il singolo evento perchè dopo una diffuzione vec P è in qualunque direzione, di solito non zero, ma per questo in media è nullo BETWEEN SCATTER the electron accelerates in whatever vec E and vec B (curves) is present now if the electron has momentum vec p(t) at time t (expectation value) vec p (t+dt) = (1-dt/tau)(vec p(t) + vec F dt) (prob of NO SCATTERING) times momentum not scattered + dt/tau vec 0 (prob of scattering times average momentum) ossia Back vec p(t+dt) = vec p(t) + [- vec p(t)/tau + vec F] dt + O(dt^2) con questo possiamo calcolare d vec p / dt = [vec p(t+dt) - vec p(t)]/dt = vec F - vec p/tau DRUDE TRANSPORT EQUATION d vec p/dt = vec F - vec p/tau where F = Lorenz force = e(vec E+ vec v x vec B) Like Newton equation with a drag force (attrito viscoso) Se E=B=0, F=0 l'eq diventa d vec p /dt = -vec p /tau con soluzione vec p(t) = vec p_0 e^-t/tau ossia è un attrito viscoso |