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Note01The book. Tutto per l'esame (meno molecole). Libro contiene di più. Comperare il libro. MS on web page: contiene versione bozza. Sample exams solution. Powerpoint slides on web (limited) Blackboard mostly PP or videos only for special subject (nice figures when sketches are not enough) Corrections on web page Message board. On-line forum. Do not be shy What is the subject. 1/3 of physics. 1/£ of the physicists. Largest area. Example March meeting APS. 8000 physicist. 1st day topics at 8 o'clock Overlaps with chemistry material science biology atomic high energy nano science quantum sciences also black hole, strings and gravity [WHY STUDY IT?
Broad and diverse, we focus on [SOLID STATE of matter. Largest most useful and most succesful. we know more about solids (crystals) Electronics Moreover, juping off point for other fields: more complicate liquid ofr simple fluids (!) Good place to start: 1900, first apllications of SM and QM to matter. 15:30 For two lectures HEAT CAPACITY (of solids) capacità termica 15:40] [C = del Q/del T where does come from . CV or CP. In soldis C ~ Cp ~CV] 17:00 this is a possible question, why cp~cV in solid? Cp-CV = VTalpha^2/beta where alphais THERMAL EXPANSION COEFFICIENT beta = ISOTHERMAL COMPRESSIBILITY. Solids have very very small alpha very tiny when squared; not true for a gas, alpha is large, CP and CV are different] [remind ourselves a few things about C MONATOMIC GAS: CV/N (per atom) = 3/2 kB (è familiare? OK bene) SOLIDS C/N = 3kB LEGGE DI Dulong Petit chimici francesi scoperta nel 1819, per tutto l'800 si sapeva che era vera ma non perchè. [BOLTZMANN fonda SM T temperature E = CT kinetic energy. Non è moto libero. 20:00 MODEL OF SOLID (1896) Harmonic well (disegna) atom in the bottom oscillates (frecce) back and forth] [Short and easy EQUIPARTITION THEOREM 1/2 kB per DOF 21:45 MONOATOMIC px py py 3/2 kB c'è energia cinetica Ek(px,py,pz) SOLID px py pz x,y,z perchè costa energia muovere l'atomo lungo la coordinata (perchè c'è un termine di energia potenziale U(x,y,z) quindi C/N = 6*1/2 kB = 3kB] 24:00 is BOLZMANN wrong Problem: LAW D&P NOT ALWAYS TRUE Fails at T<<Troom C/N<<3KB for some materials eg diamond C<<3KB even at Troom Puzzle, any material cool it down heat capacity will drop below 3kB. Bolzmann suicide in 1905. Bright young scientist solved it Einstein One of the very important as much as relativity [EINSTEIN MODEL OF SOLID 1907 = BOLTZMANN'S SOLID + QuQUANTUM mechanics] [Draw harmonic well omega = sqrt(K/M) treat using QM not CM 27:00 19 years before Schroedinger equation, no one knew about QM not even a word for it. We know more easy way since we know about eigenstate and eigenvectors En = hbar omega (n+1/) in 1 DIMENSION we live in 3D we have to fix that up later but stick for now on 1D. Disegnare i livelli nella buca!) [Partition function Z = sum_n>=0 e^-beta En where beta = 1/kBT <E> = - 1/Z del Z/del beta note <> is both QM and SM average (expectation value) No calculation -> homework, Esercitazione (***QSM non è stata fatta richiede più attenzione! MS II periodo II anno Bonini, lez.20-21: viriale, mostra che oscillatori armonici non accoppiati hanno 2 3/2kB, OA quantistico dice che discretizza, ipotizza equispaziati e assume n+1/2 hbar w, quindi calcola Z, U e cV senza nominare n_B, n_F ; MQ Introduzione Corpo nero e catastrofe UV, ipotesi di Planck, calore specifico dei solid, non ci sono note. )] [= hbar omega (nB(bet ahbar omega) + 1/2) where nB(T) = 1/(beta hbar omega -1 )]] BOSE-EINSTEIN FACTOR molto simile all'espressione dell'energia dell'oscillatore armonico BE factor è (the expected level of excitation at a given temperature) se nB ~3 significa che a quella T in media si eccita fino al livello 3 ora C = del <E>/del T = kB (beta hbar omega)^2 e^beta hbar omega /(e^beta hbar omega -1)^2] (*** questo calcolo da piazzare) [Due cose da rifinire: ci sono N atomi, facile, si moltiplica per N e in 3 D, gli atomi possono oscillare lungo x, y, z, quindi occorre moltplicare per 3 C/N = 3 kB (beta hbar omega)^2 e^beta hbar omega /(e^beta hbar omega -1)^2] 31:41 Eistein final result] Per capire questa espressione vediamo il limite di alta temperature (di fianco all'exp per <E>) [kBT>>hbar omega, -> beta hbar omega << 1 hence e^ beta hbar omega = 1 + beta hbar omega + ... (mostrando a sn in <E> al num teniamo 1 al denom 1 si cancella e resta (beta hbar omega)^2 che si semplifica e resta C/N = 3kB that is DULONG & PETIT 32:00 Ad alta T si ritrova il risultato della fisica classica. [[A bassa temperatura invece kBT <<hbar omega -> e^ beta hbar omega IS BIG puntando a sn al denominatore si trascura 1 e la frazione si semplifica dando C/N = 3 kB (beta hbar omega)^2 e^-hbar beta omega che diventa ESPONENZIALMENTE PICCOLO per T-> 0 34:00 let's plot [[hand draw C/N vs kBT/hbar omega HIGH T asymptote 3kB dashed arrow at T=0 EXP SMALL dashed vertical at 1 and connect]] cosa sta succedendo? ad alta T il limite classico DULONG & PETIT, am a basse T la capacità termica per atomo è minuscola e scompare esponenzialmente, perchè gli oscillatori armonici stanno congelandosi, ogni oscillatore finisce nel suo stato fondamentale n=0. E se tutti sono nello stato fondamentale non possono assorbire energia perchè c'è un gap finito, hbar omega e se kBT è molto minore di hbar omega non risìesce ad eccitare nessun oscillatore nello stato n=1. Se la T è molto meno della spaziatura tra autostati il sistema è bloccato nello stato fondamentale e non può assornire alcuna energia così che la capacità termica crolla. Einstein si rese contoc che doveva succedere questo nei sistemi fisici, in ogni solido. Cosa succede con il diamante? Un particolare che Einstein non sapeva derivare è questa energia hbar omega. Sapeva che deve essere una frequenza d'oscillazione come indicato prima omega = sqrt(K/M), sapeva cos'è M ma non sapeva calcolare la costante di molla 36:00 Ogni solido ha la sua costante di molla, ogni solido ha la sua frequenza di Einstein omega_E. Per alcune sostanze omega_E è piccola e quindi a T ambiente l'1 sta a sinistra, siamo qui (mettere asterisco sulla curva vicino all'asintoto) e la capacità termina segue D&P. Ma se si raffredda la sostanza C/N dovrà senz'altro crollare Altre sostanze hanno una omega_E grande, grande hbar omega, ossia a T ambiente sono qui (cerchio molto prima di 1) ossia kB Troom << hbar omega Perchè per il diamante omega è così grande? scrivere omega = sqrt(K/M) prima di tutto C è leggero M piccola (5o elemento nella TP scrivere PICCOLA di fianco ad M), ma in più è duro, duro significa con costante di molla molto elevata (scrivere GRANDE di fianco a K) Il diamante ha una delle massiem C/N tra tutti i solidi Mostra dati reali [H.F. Weber] da PP Einstein Annalen der Physik 22 180 Einstein fit della capacità termica del diamante (parametro del fit omegaE) just one parameter fits the data fairly well. Grande successo, non solo spiega un fenomeno, ma per spiegarlo inventa la QM. E ha potuto fare questa scoperta così importante perchè stava studiando la Fisica della Materia. Grande successo ma la figura mostra anche che l'accordo non è perfetto. 40:00 Come sapete dal lab i dati sperimentali hanno errori sperimentali, quindi una possibile causa di disaccordo è quella. Ad esempio questo dato (terzo da dx) è sbagliato, il dato vero è molto più vicino alla curva. Tuttavia a basse T la curva è sistematicamente sotto i dati sperimentali e questo è un segno che il modello non rappresenta correttamente questi dati di bassissima T. Questo è un vero problema. Di fatto per la maggior parte dei materiali, incluso il diamante, a basse T C propto T^3 Un'eccezione sono i metalli (rame, piombo, ecc) in cui C propto alpha T^3 + gamma T ma in nessun materiale C crolla esponenzialmente, che era la predizione di E. Mai così veloce Dati più recenti C/N del diamante a bassissime T vs T^3 perfetta fino a 40 K 5 anni per risolvere il puzzle. Altra persona molto smart Peter Debye. Einstein era entusiasta del modello di Debye. La ragione per cui non va bene un puro modello di oscillatore armonico è che se un atomo di muove e viene respinto dal vicino anche il vicino si muove. E se si muove il vicino questo muove il suo vicini, e così via. Moto collettivo di tutti gli atomi del solido. Il moto collettivo è un'onda e così dobbiamo studiare il moto delle onde nei solidi. Come si chiama questo moto di vibrazione nei solidi: suono, onda sonora. C'è una connessione tra suono e capacità termica dei materiali. Già vista, nei gas vrms = sqrt(3kBT/m) da cui EK e C, connessa con v_s = sqrt(gamma kB T/m) - forse nei gas avete visto R/M ivece che kB/m è la stessa cosa. L'idea di Debye è che le onde sono anch'esse quantizzate. L'esempio che aveva era la quantizzazione di Planck delle onde elettromagnetiche per lo spettro di corpo nero, 10 anni prima (tutto molto prima della prima e della seconda quantizzazione, come le conosciamo ora). 45:00 |