|
Onde /
Dinamica< Cinematica delle onde | Indice | Onde sulla corda > Derivate parziali Abbiamo visto che una funzione di due variabili può essere sempre mostrata in una sezione perpendicolare all'asse di una delle due variabili, ossia per un valore fissato di questa coordinata. L'abbiamo mostrato nella prime due equazioni della pagina precedente, sia con {$x=\overline x$} costante, sia con {$t=\overline t$} costante. In queste sezioni la derivata della funzione, {$ df/dx|_{t=\text{cost}}$} oppure {$ df/dt|_{x=\text{cost}}$}, ha il significato usuale di pendenza della tangente alla curva. L'operazione definisce le due derivate parziali della funzione {$f(x,t)$}, che nella notazione di Leibnitz si indicano con il simbolo {$\partial$} al posto di {$d$} e quindi corrispondono a {$$ \frac {\partial f(x,t)}{\partial x} = \frac {d f(x,t)|_{t=\text{cost}}}{dx} \qquad \frac {\partial f(x,t)}{\partial t} = \frac {d f(x,t)|_{x=\text{cost}}}{dt} $$} Calcolare la derivata parziale rispetto ad {$x$} o {$t$} è facile: basta ignorare l'altra variabile. Proviamo quindi a calcolare le due derivate parziali della funzione d'onda armonica definita nella pagina precedente, {$f(x,t)=y_0\cos(\omega t - kx)$} (abbiamo scelto per semplicità la sola onda progressiva) {$$ \frac {\partial f}{\partial x} = ky_0\sin(\omega t - kx)\qquad \frac {\partial f}{\partial t} = -\omega y_0\sin(\omega t - kx)$$} Allo stesso modo si può procedere alla derivata seconda, che si scriverà {$$ \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} = -k^2y_0\cos(\omega t - kx)\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial t^2} = -\omega^2 y_0\cos(\omega t - kx)$$} Equazione delle onde, o di D'Alembert Confrontando i due risultati si vede che basta moltiplicare per {$(\omega/k)^2 = c^2$} la derivata seconda di sinistra per ottenere la derivata seconda di destra, ovvero {$$\begin{equation} c^2 \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac {\partial^2 f}{\partial t^2}\end{equation}$$} Questa è una equazione differenziale a cui obbediscono, per costruzione, le onde armoniche che abbiamo costruito nella pagina precedente. Si mostra facilmente che qualunque funzione {$f(ct-x)$} è soluzione di questa equazione differenziale. Qualunque forma d'onda corrisponda ad {$f$}, basta che essa sia funzione di {$x,t$} attraverso la combinazione {$ct-x$} per garantire che si propaghi come un onda, ossia rigidamente, con i massimi e i minimi che si spostano verso destra a velocità {$c$}. Se ritroviamo l'equazione di D'Alembert in un qualunque problema fisico sappiamo due cose:
|