|
Onde /
Cinematica< Le onde | Indice | Equazione delle onde > In questa pagina descriviamo matematicamente un onda armonica, definendo una serie di grandezze che la caratterizzano. Istantanea di un onda Scatto una fotografia dell'onda che si muove sulla superficie dell'acqua di un canale ad un certo istante di tempo {$\overline t$}. Se ad esempio l'onda si propaga nella direzione {$\hat x$} parallela alle rive, l'altezza {$y$} dell'acqua rispetto al livello del canale in quiete ({$y=0$}) è rappresentata da una funzione armonica della coordinata {$x$} {$$y(x) = y_0 \cos\left(\frac {2\pi} \lambda x + \phi\right)$$} dove {$y_0$} è l' ampiezza dell'onda, la distanza tra i massimi della funzione armonica (il periodo spaziale) è {$\lambda$}, ossia la funzione ha lo stesso valore per {$x$} ed {$x+\lambda$}, come è facile controllare. L'argomento della funzione, la fase dell'onda in radianti, è adimensionale. La grandezza {$k = 2\pi/\lambda$} si chiama vettor d'onda ed è misurata in m-1. Un punto osservato nel tempo Se invece ora osservo un sughero che galleggia nel punto {$\overline x$}, mentre passa l'onda lo vedrò sollevarsi e abbassarsi stando fermo in quel punto, secondo la funzione {$$y(t) = y_0 \cos\left(\frac {2\pi} T x + \phi^\prime\right)$$} In questo caso {$T$} è il periodo dell'onda e {$\omega=2\pi/T$} la pulsazione. Le fasi iniziali {$\phi, \phi^\prime$} dipendono da come si sceglie l'origine dell'asse {$x$} e dei tempi. Quando passa un tempo pari al periodo {$T$} l'onda torna in se stessa: se immaginiamo la successione delle istantanee precedenti vediamo che una cresta (un massimo) ha viaggiato fino alla posizione inizialmente occupata dalla cresta successiva. La velocità {$c$} di questo moto è data da spazio percorso diviso tempo impiegato ossia {$$c=\frac \lambda T = \frac \omega k$$} Si noti che si muovono le creste, si muovono anche le valli (i minimi), e i nodi (gli zeri della funzione), ma il sughero non si sposta. Non si ha cioè spostamento dell'acqua, ma solo della sua forma d'onda. Nom si ha trasporto di materia (ma vedremo che si ha trasporto di energia). Una sola funzione d'onda Ciò significa che la funzione d'onda, ossia la forma che la descrive ad un qualunque istante di tempo e in qualunque punto dell'asse è una funzione di due variabili, {$y(x,t)$}. L'unico modo di visualizzare contemporaneamente i due andamenti è di fare un filmato, o una animazione, in cui le istantanee diventano fotogrammi. Analiticamente la funzione si può scrivere in modo semplice {$$y(x,t) = y_0 \cos(\omega t \pm kx)$$} Infatti, se {$\phi=k\overline x$} e inoltre {$\phi^\prime=\omega \overline t$}, questa espressione riproduce entrambe quelle precedenti. Il segno {$\pm$} indica due possibili direzioni di propagazione. È più facile capirlo se si riscrive la funzione d'onda mettendo in evidenza {$k$} nella fase e ricordando che {$\omega/k=c$} {$$y(x,t) = y_0 \cos[k(ct \pm x)]$$} Si vede che la prima cresta, a {$t=0$} in {$x=0$}, si muove in avanti con velocità {$c$} nel caso in cui si sceglie il segno meno. Infatti la fase resta zero per {$ct-x=0$}, ossia il punto in cui c'è la cresta si sposta in {$x=ct$}. Questa è l'onda progressiva di cui si può vedere un'animazione qui sotto.
Sotto: l'animazione della funzione d'onda progressiva, con l'istantanea iniziale tratteggiata in grigio (ad animazione ferma si vede in blu l'istantanea iniziale). Sopra: la posizione del punto rosso, in {$\overline x$}, allo scorrere del tempo. Se invece si sceglie il segno più la cresta si sposta in base a {$ct+x=0$}, ossia in {$x=-ct$}, nel verso negativo dell'asse. Questa è l'onda regressiva. Vedremo più oltre che la loro somma produce un onda stazionaria. < Le onde | Indice | Equazione delle onde > |