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Esaminiamo il seguente problema: un rotatore in movimento che urta un altro rotatore. Come si ripartisce il momento angolare? Esaminiamo due casi differenti

1) Una palla da biliardo liscia che ruota attorno al proprio asse verticale ({$L_0>0$}) ed urta contro una palla ferma. Se non c'è attrito in un urto centrale elastico la prima palla conserva il proprio momento angolare {$L_0$} continuando a ruotare con la stessa velocità angolare {$\omega_0$}. Scambia quantità di moto con la seconda palla, come nel caso semplice dell'urto in una dimensione tra masse puntiformi. Se invece la palla non è liscia l'urto non è elastico e la soluzione è molto più complicata.

Cerchiamo ora di studiare un caso di urto elastico apparentemente semplice, tra due oggetti elementari

2) Un bilancere lungo 2R, con due masse m uguali agli estremi, ruota attorno al centro C con {$L_0=md^2\omega_0/2$}. Esso urta centralmente in modo elastico una delle due masse M di un bilancere simile, lungo 2R, inizialmente in quiete, che può ruotare attorno al suo centro C' (v. figura in alto). Per confronto con un urto più semplice, nella figura in basso si vede lo stesso primo bilancere che urta contro una mssa M libera.

Premessa sui momenti angolari dei rotatori vincolati Il momento angolare totale di un rotatore vincolato (ossia di un corpo rigido vincolato a ruotare attorno al suo centro di massa) è indipendente dall'asse di rotazione attorno a cui si calcola. Infatti, consideriamo la massa i-esima, identificata da due vettori posizione, r _1i e r_2i = R ₂₁ + r _1i, rispetto a due origini, 1 e 2, situate su due assi di rotazione paralleli, connesse dal vettore R ₂₁. I momenti angolari totali di un sistema di masse tali rispetto ai due assi sarà

{$ {\mathbf L}_1 = \sum_i {\mathbf r}_{1i} \times m_i{\mathbf v}_i \quad \quad {\mathbf L}_2 = \sum_i {\mathbf r}_{2i} \times m_i{\mathbf v}_i $}

Sostituendo l'espressione di r_2i in L ₂ si ottiene

{$ {\mathbf L}_2 = \sum_i ({\mathbf R}_{21} + {\mathbf r}_{1i}) \times m_i{\mathbf v}_i = {\mathbf R}_{21}\times M_{tot}{\mathbf V}_{cm} + \sum_i {\mathbf r}_{1i} \times m_i{\mathbf v}_i = {\mathbf L}_1$}

dove si è riconosciuto che il momento totale M_tot V _cm è nullo perché il rotatore è vincolato. Quindi nel caso dei due rotatori della figura superiore si può utilizzare per ciascuno di essi il calcolo del momento d'inerzia attorno al proprio asse.

Sopra: due rotatori di raggio R vincolati al centro, C e C', si urtano. Sotto: un rotatore vincolato di raggio R urta una massa M.

Due rotatori vincolati Il momento angolare non si conserva per due rotatori vincolati che si urtano. Ciascuno subisce una forza vincolare esterna impulsiva F durante l'urto. Le due forze sono uguali ed opposte, infatti il centro di massa complessivo non si muove (forza esterna risultate nulla). Anche il centro di massa di ciascun rotatore sta fermo, ossia la forza impulsiva sul di esso è uguale ed opposta alla forza impulsiva ricevuta dal ciascuna delle due masse, m ed M, che si scontrano.

In queste condizioni la derivata del momento angolare rispetto a C è diversa da zero perché compare un momento torcente esterno dovuto alla forza F su C', τ = 2RxF. Questo momento determina un impulso angolare durante l'urto, pari a ΔL, assorbito dal vincolo C. È facile vedere che le forze impulsive F che compaiono sulle masse m ed M in direzioni opposte determinano momenti torcenti pari a τ/2, visto che il loro braccio è solo R. I due momenti torcenti sono uguali e dello stesso segno (forze opposte, bracci opposti). Ossia i due rotatori assorbono ciascuno la metà dell'impulso angolare totale, ΔL/2.

Conservazione del momento angolare? Si può quindi scrivere che il sistema formato dai vincoli più i due rotatori conserva il momento angolare, in base all'equazione

{$(1) \quad \quad {\mathbf L}_0={\mathbf L}_1 + {\mathbf L}_2 - \mathbf \Delta L$}

includendo l'impulso angolare -ΔL assorbito dai due cardini, C e C'. Oppure si può considerare il sistema dei soli due rotatori, per i quali non si conserva il momento angolare, in quanto F agente su C', ovvero τ calcolato rispetto all'asse che passa per C, sono rispettivamente una forza ed un momento torcente esterni. Infatti

{$(2) \quad \quad{\mathbf L}_1={\mathbf L}_0 + \frac {\mathbf{\Delta L}} 2 \quad \quad \quad {\mathbf L}_2= + \frac {\mathbf{\Delta L}} 2 $}

e la somma dei momenti angolari dei due rotatori dopo l'urto è diversa dal momento angolare iniziale.

Per confronto, nel caso dell'urto con la massa M isolata, invece, si conserva il momento angolare attorno a C, ma non si conserva la quantità di moto totale del sistema rotatore più massa M, a meno di non includere il vincolo C e la quantità di moto ΔP _C scambiata dal questo.

Urto elastico Le ultime due equazioni e la conservazione dell'energia consentono di risolvere il problema. Dalla (1), con z uscente dalla pagina ({$\omega_0<0$}), si ottiene

{$ I_1\omega_0=I_1(\omega_0+\Delta\omega_1)+I_2\Delta\omega-\Delta L_z$}

Dalla (2) si ottiene

{$ I_1\Delta\omega_1 = I_2 \Delta \omega = \frac {\Delta L_z} 2 $}

da cui , ricordando che I₁ = 2mR² e I₁ = 2MR² si ottiene Δω₁= M Δω₂/m. Quindi, per la consenrvazione dell'energia:

{$ \frac 1 2 I_1\omega_0^2 = \frac 1 2 I_1 (\omega_0+\Delta\omega)^2 + \frac 1 2 I_2 \Delta \omega^2 $}

si ottiene infine {$\Delta\omega=- \frac {2m}{m+M} \omega_0 $}. Se le masse del bilancere di sinistra sono uguali a quelle del bilancere di destra, ''m=M', il primo bilancere si arresta e il secondo parte con momento angolare uguale ed opposto. I cardini assorbono il momento angolare scambiato, pari a due volte il momento angolare iniziale.

Da controllare:

Viceversa il caso realistico è che i rotatori (le palle da biliardo) striscino per un po', dissipando energia. La quantità di energia dissipata è pari all'opposto del lavoro {$-W_a$} delle forze d'attrito che causano lo strisciamento. Nel caso semplice (poco realistico) che le forze d'attrito, {$F_a$}, siano costanti per un breve intervallo di tempo e poi si annullino, il lavoro dei momenti delle forze d'attrito nella rotazione determina una differenza {$\theta_1(t)-\theta_2(t)=\Delta\theta=-W_a/R F_a$} tra gli angoli di cui ruota ciascuno dei due dischi a partire dall'istante t=0 del contatto. In questo caso la velocità angolare finale {$\pm\omega$} dei due dischi è dettata da

{$\omega_0^2+\frac {2 W_a} I =2\omega^2$}

Si capisce quindi che la condizione finale dipende da una quantità difficilmente osservabile, come {$\Delta\theta$} che entra assieme alle forze d'attrito nel determinare la velocità finale.

Torniamo al problema del primo disegno. Qual è la soluzione con urto elastico?

Basta riconoscere che la forza impulsiva tra i due bilanceri è una interazione, ossia che il momento torcente sul primo è uguale al momento torcente sul secondo (forze opposte e bracci opposti). Di conseguenza l'impulso angolare {$\Delta L=-I\Delta\omega$} sul primo bilancere è uguale a quello sul secondo. Dividendo per il momento d'inerzia si ottengono uguali variazioni di velocità angolare dei due bilanceri, ovvero

{$ \omega_0^2=(\omega_0-\Delta\omega)^2+\Delta\omega^2$}

che ha come soluzioni {$\Delta\omega=0$} (nessun urto) oppure {$\Delta\omega=\omega_0$}. Quindi nell'urto elastico il primo bilancere si arresta e il secondo ne eredita l'energia cinetica, ruotando in senso inverso, ossia il momento angolare si inverte.

P.S. Problema risolto in generale, v. reMarkable e pdf in Esercizi 2019-2020.

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