Rotazioni

Un corpo di massa {$m$} in moto circolare uniforme su una traiettoria di raggio {$r$}, percorsa con velocità angolare [$\omega$} è contraddistinto da un valore costante della quantità

{$$\mathbf l = \mathbf r \times m \mathbf v$$}

dove {$\mathbf v = \omega r \hat \theta$} è la velocità tangenziale e {$\hat \theta$} è il versore nella direzione tangente al punto {$\mathbf r$} (Fig. 1). I versori {$\hat r$} e {$\hat \theta$} sono mutuamente perpendicolari e il loro prodotto vettoriale identifca la direzione perpendicolare al piano della traiettoria, {$\hat z$}. Quindi il momento angolare giace in quella direzione, nel verso positivo se il moto, visto dalla punta della freccia di {$\hat z$}, è antiorario, nel verso negativo se il moto è orario (regola della mano destra?). Il vettore definito come sopra è chiamato momento della quantità di moto (o momento angolare). In generale l'operazione {$\mathbf r \times \mathbf a$} definisce il momento del vettore {$\mathbf a$}.

Il momento della quantità di moto descrive la rotazione di una massa attorno ad un centro. Questa definizione implica che anche una particella che si muove in linea retta, come quella di Fig. 2, possiede un momento angolare rispetto ad un centro O, se la traiettoria non passa per O. Il caso della traiettoria rettilinea illustra che il modulo del momento angolare è pari al braccio, {$r\sin\theta$} per il modulo del vettore {$mv$}.

Il momento angolare in questo caso è nullo solo se la traiettoria passa per O, ossia il braccio è nullo. L'esempio illustra anche il fatto che il momento angolare è definito rispetto ad un'origine: uno spostamento dell'origine cambia il valore del momento angolare.

Il momento angolare totale di un sistema è la somma dei momenti angolari delle sue masse.

{$$\begin{equation} \mathbf L = \sum_j \mathbf r_j \times m_j \mathbf v_j\end{equation}$$}

Nel caso di un corpo rigido, le cui distanze interne non cambiano durante il moto, le velocità sono funzione di un'unica velocità angolare {$\omega$} comune con cui il corpo ruota attorno ad un preciso asse. Le distanze delle masse da quell'asse definiscono le loro velocità tangenziali {$\mathbf v_j = r_j \omega \hat \theta$}. La stessa distanza {$r_j$} costituisce il braccio della quantità di moto. Di conseguenza la velocità angolare può essere messa a fattore comune e la costante di proporzionalità con il modulo del momento angolare, per un certo asse di rotazione, è data per un insieme di masse discrete

{$$ L_z = \omega \sum_j m_j r_j^2 = {\cal I} \omega$$}

Fig. 1 Moto circolare e momento angolare

Fig. 2 Il momento angolare per una particella che si muove lungo una traiettoria rettilinea è un vettore perpendicolare al piano del disegno, di modulo pari al prodotto di {$mv$} per il braccio {$r\sin\theta$}.

Calcoliamo la derivata della Eq. 1 per un sistema di masse

{$$\begin{equation}\frac d {dt} \sum_j \mathbf r_j \times \mathbf p_j = \sum_j \frac {d\mathbf r_j}{dt} \times \mathbf p_j + \mathbf r_j \times\frac {d\mathbf p_j }{dt} = \mathbf r_j\times \frac {d\mathbf p_j }{dt}\end{equation}$$}

Nel calcolo si è sfruttato il fatto che il primo termine nella sommatoria del membro centrale è sempre nullo, perchè è il prodotto vettoriale tra la velocità e il momento lineare di ciascuna particella e i due vettori sono paralleli tra loro. Il risultato può essere riscritto tenendo conto della II legge di Newton per {$m_j$}

{$$\frac {d\mathbf p_j }{dt} = \sum_{i\ne j} \mathbf F_{ij} + \mathbf F_{ej}$$}

dove il primo termine a destra rappresenta la risultante di tutte le forze interne (interazioni tra le masse), dovute alle altre masse del sistema e il secondo la risultante delle forze esterne agenti su {$m_j$}.

L'Eq. 2 contiene la somma dei momenti di entrambi i termini su tutte le masse del sistema. La somma di tutti i momenti torcenti delle interazioni tra le masse si annulla per forze centrali (dirette come la congiungente delle due masse). Infatti in questo caso le forze condividono il modulo (per il III principio) e il braccio {$d$} (Fig. 3) ed, essendo opposte producono momenti torcenti opposti, che si cancellano a due a due (nella Fig. 4 si mostra un caso in cui questo non è vero per interazioni non centrali). Resta quindo solo la somma dei momenti trocenti di tutte le forze esterne.

Quindi per forze centrali vale che

{$$\begin{equation}\frac {d\mathbf L} {dt} = \sum_j \boldsymbol \tau_{ej}\end{equation}$$}

la derivata della momento angolare totale è uguale alla risultante dei momenti torcenti delle forze esterne agenti sul sistema. Basta quindi che questa risultante sia nulla per garantire la conservazione del momento angolare, ossia il fatto che il momento angolare è costante nel tempo.

Fig.3 Per forze centrali i momenti delle coppie di azione ({$\mathbf F_{12}$}) e reazione ({$\mathbf F_{21}$}) si annullano a vicenda. Condividono lo stesso braccio {$d$} e torcono in direzione opposta.

Fig.4 Un caso in cui interazioni non centrali danno momento torcente non nullo: due particelle cariche in moto a velocità {$\mathbf v_1$} e {$\mathbf v_2$}, i campi magnetici prodotti da ciascuna, {$\mathbf B_1$} e {$\mathbf B_2$}, e le forze di Lorentz corrispondenti, {$\mathbf F_{12}= e\mathbf v_2\times\mathbf B_1$} e {$\mathbf F_{21}= e\mathbf v_1\times\mathbf B_2$}. Con la scelta dell'origine i momenti torcenti si sommano lungo l'asse z.