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OrbiteSatellite< Urto tra rotatori: una questione sottile | Indice | La conservazione del momento angolare e le orbite dei pianeti > Un satellite di massa {$m$} percorre un orbita circolare di raggio {$R_1$} attorno al pianeta di massa {$M$}. Un razzo di servizio lo aggancia e lo spinge su un'orbita di raggio {$R_2$}. Nel caso reale occorre considerare anche la massa del razzo e quella del carburante espulso per generare la spinta. In prima battuta le ignoriamo, consideranfolo un lavoro esterno. Facciamo il bilancio energetico. La forza risultante durante il cambio d'orbita è la somma della forza di gravità più la spinta del razzo e il lavoro della forza risultante è {$$W_R = \frac 1 2 m v_2^2 - \frac 1 2 m v_2^2 = \frac{GMm}{2R_2} - \frac{GMm}{2R_1}.$$} Il lavoro della forza di gravità è {$$W_g = U(R_1) - U(R_2) = \frac{GMm}{R_1} - \frac{GMm}{2R_2} = 2W_R.$$} Infine il lavoro del motore del razzo è dato da {$$ E_\mathrm{tot}(R_1)+ W_m = E_\mathrm{tot}(R_2). $$} ossia {$$W_m = -\frac{GMm}{2R_2} + \frac{GMm}{2R_1} = -W_R.$$} In definitiva {$$ W_g + W_m = 2W_R - W_R = W_R$$} Il problema reale di passare da un orbita all'altra ha diverse soluzioni, a seconda che si voglia minimizzare il tempo o il lovoro rchiesto. La manovra di Hohmann consiste nelll'utilizzare l'orbita ellittica tangente ad entrambe le orbite circolari  Ciò si ottiene con due impulsi ideali, uno nella direzione opposta alla velocità tangenziale, di velocità {$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_1}}\left(\sqrt{\frac{2R_2}{R_1+R_2}}-1\right),$$} per lanciarsi sull'orbita ellittica al perielio e uno nella direzione della velocità tangenziale, di velocità {$$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{R_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2R_1}{R_1+R_2}}\right),$$} all'afelio per adagiarsi sulla seconda orbita circolare. Gli impulsi reali non sono istantanei e generano anche calore. < Urto tra rotatori: una questione sottile | Indice | La conservazione del momento angolare e le orbite dei pianeti > |