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Scimmia

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Ad esempio: dove occorre mirare con il cannone a banane per colpire la scimmia, sapendo che allo sparo del cannone essa si lascia cadere dall'albero?

Chiamiamo {$l$} la distanza orizzontale tra il cannone il punto sotto la verticale della scimmia (dove la scimmia atterra quando si lascia cadere) e {$h$} l'altezza della scimmia da terra.

Supponendo di mettere l'origine del sistema di riferimento sul cannone, con asse {$x$} orizzontale e asse {$y$} diretto verso l'alto, le equazioni del moto della banana si scrivono supponendo che la sua velocità iniziale sia {$v$} in modulo, incognita, e che il fusto del cannone formi un angolo {$\theta$} con l'asse {$x$}.

Allora la componente x della velocità iniziale è {$v\cos\theta$}, mentre la componente y è {$v\sin\theta$}, pe cui le due coordinate della banana si scrivono

{$x_b(t)=v\cos\theta\, t $}

{$ y_b(t)=v\sin\theta\, t - \frac 1 2 g t^2$}

Viceversa, allo stesso tempo {$t=0$} al quale parte la banana, la scimmia si lascia cadere con velocità iniziale nulla dall'altezza {$h$}, quindi

{$ x_s=l$}

{$ y_s=h-\frac 1 2 g t^2$}

I due corpi (banana e scimmia) si incontrano quando {$x_b(t_i)=x_s(t_i)$}, il che incidentalmente avviene quando {$v\cos\theta\, t_i = l$}, al tempo {$t_i=l/v\cos\theta$}. Ma per garantire l'incontro basta richiedere che {$y_s(t_i)=y_b(t_i)$}, ovvero

{$v\sin\theta\, t_i - \frac 1 2 g t_i^2 = h - \frac 1 2 g t_i^2$}

Questa equazione rivela due cose:

• banana e scimmia cadono assieme, ossia accelerano verso il basso nello stesso modo, e i due termini {$- \frac 1 2 gt_i^2$} si possono cancellare in ambo im membri.
• la componente y della velocità è determinata dal triangolo cannone, punto di partenza della scimmia, punto di caduta della scimmia e si deve mirare ad essa. Infatti, sostituendo {$t_i$} dal calcolo precedente

{$ v\sin\theta \frac l {v\cos\theta} = h$},

ossia {$\tan\theta=h/l$}, il cannone deve puntare sulla scimmia

Indice

La gittata massima

Con che angolo {$\theta$} rispetto all'orizzontale va lanciato un sasso per raggiungere la massima gittata? Battezziamo tutte le grandezze costanti che ci servono: la velocità iniziale {$v_0$} che sarà lungo la direzione iniziale del lancio e la gittata {$D$}. La gittata si calcola supponendo di conoscere tutte le quantità definite sopra (anche se l'angolo è ancora indeterminato). Il moto è descritto dalle due equazioni orarie per le coordinate del sasso, {$x(t)$} e {$y(t)$}, che sappiamo già scrivere perchè la prima corrisponde ad un moto uniforme e la seconda ad un moto uniformemente accelerato che partono dall'origine. Inoltre le velocità iniziali lungo x e lungo y sono le proiezioni del vettore {$\mathbf{v_0}$}, rispettivamente {$v_0\cos\theta$} e {$v_0\sin\theta$}. Quindi {$x(t)=v_0\cos\theta\,t$} {$y(t)=v_0\sin\theta\, t - \frac 1 2 g t^2$} Quando il sasso ricade {$x(t_c)$} deve valere {$D$} e {$y(t_c)$} deve valere 0

Partiamo dall'ultima condizione, {$0=v_0\sin\theta\, t_c - \frac 1 2 g t_c^2$}. Questa equazione ha una soluzione banale, {$t_c=0$}, che corrisponde alla partenza del sasso dall'origine, e la soluzione che cerchiamo si ottiene come {$0=v_0\sin\theta - \frac 1 2 g t_c$}, ossia {$t_c=2v_0\sin\theta/g$}. Sostituendo nel'equazione per x si ottiene

{$D=\frac {v_0^2} g 2\sin\theta\cos\theta =\frac {v_0^2} g \sin2\theta $}

Per determinare l'angolo {$\theta$} al quale {$D$} è massimo basta imporre che la derivata della funzione {$D(\theta)$} espressa dalla relazione precedente, sia nulla (e controllare che si tratti effettivamente di un massimo). Oppure, più direttamente, stabilire per che angolo è massima la funzione {$\sin2\theta$}. Essa vale 1 per {$2\theta=\frac \pi 2$} ossia per {$\theta=\frac \pi 4$}. (Nel caso reale l'attrito dell'aria non è del tutto trascurabile e il lancio va effettuato ad un angolo leggermente minore).

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