Biliardo

La palla sul biliardo rotola senza strisciare, ossia la velocità del suo centro di massa è uguale alla velocità tangenziale della suo cerchio massimo (v. Fig. 1 sotto). Questa condizione garantisce che la palla non strisci e quindi non sia frenata (o accelerata) da attrito dinamico.

Vediamo separatamente come garantire questa condizione a) quando si imprime la velocità iniziale alla palla con la stecca e b) quando la palla urta con la sponda.

a) A che altezza colpire la palla perchè rotoli senza striscare?

Innanzitutto l'urto della stecca con la palla fornisce una forza {$\mathbf F$} impulsiva breve e intensa. Chiamiamo {$\Delta t$} la sua durata ed immaginiamo che sia nel piano della sezione centrale della palla. Rispetto a questa forza si trascurano tutte le altre forze (peso della palla, forza d'attrito, reazione normale del piano).

Supponiamo che l'impatto avvenga nel punto all'altezza {$h$} dal piano del biliardo, in direzione perfettamente orizzontale. Durante l'impatto il moto è accelerato in base alle leggi

{$$\begin{align*} F &= M a\\ \mathbf (h-R)F & = {\cal I} \alpha \end{align*}$$}

in cui {$F=|\mathbf F|$} e {${\cal I} = 2MR^2/5$}. Da queste due leggi si ricava il modulo dell'accelerazione del centro di massa della palla, {$a=F/M$} e l'accelerazione angolare attorno al centro di massa, {$\alpha= (h-R)F/{\cal I}$}. Possiamo quindi calcolare la velocità angolare e la velocità del centro di massa,

{$$\begin{align*} v &= \frac F M \Delta t \\ \omega &= \frac 5 2 \frac {(h-R)F} {MR^2} \Delta t \end{align*}$$}

Imponendo che {$v = \omega R$} si ottiene

{$$ h = \frac 7 5 R$$}

Figura 1. Diagramma di corpo libero sulla sezione centrale della palla colpita dalla stecca.

Indice

b) Rotolamento anche dopo un urto contro la sponda

Consideriamo un urto perpendicolare alla sponda per semplicità. La Fig. 2 riproduce la sponda di un biliardo costruita in modo che il punto di contatto sia ad altezza {$h$}. Le equazioni del moto sono le stesse del caso precedente ma ora si richiede che la velocità del centro di massa della palla sia inizialmente {$-v$}, lungo l'asse normale alla sonda e orientato come la forza impulsiva che essa produce. In un urto perfettamente elastico la velocità finale deve essere quindi {$v$}, lungo lo stesso asse. Vogliamo inoltre che anche la velocità angolare, inizialmente {$-\omega$} lungo l'asse entrante nel piano della figura (antioraria), diventi {$\omega$} dopo l'urto.

Di conseguenza avremo

{$$\begin{align*} v &= -v + \frac F M \Delta t' \\ \omega &= -\omega + \frac 5 2 \frac {(h-R)F} {MR^2} \Delta t' \end{align*}$$}

Anche per queste la condizione {$v = \omega R$} impone che

{$$ h = \frac 7 5 R$$}

Questa condizione vale anche per un urto in cui il momento lineare della palla forma un angolo di incidenza con la normale alla sponda? Per rendercene conto consideriamo che lo stesso ragionamento si può applicare alla variazione della componente della velocità perpendicolare alla sponda nell'urto, {$\Delta v_y$}. Ricordiamo che la componente della velocità , {$\Delta v_x$}, e quindi del momento lineare, {$\Delta p_x$}, paralleli alla sponda non cambiano nell'urto.

Anche la componente della velocità angolare parallela alla sponda, {$\Delta \omega_x$} cambia, in virtù della componente dell'impulso angolare nella stessa direzione, {$\Delta L_x=\tau_x\Delta t$}, mentre la componente {$\omega_x$} è continua durante l'urto.

Il confronto tra prima e dopo l'urto per {$v=\sqrt{v_y^2+v_x^2}$} e {$\omega=\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}$} garantisce il rotolamento perchè {$\Delta v_x=0,$} e {$\Delta v_y=2v_y$}, mentre {$\Delta \omega_y=0,$} e {$\Delta \omega_x=2\omega_x$}.

In definitiva lo stesso ragionamento di prima si applica alla sola componente {$y$} della velocità e {$x$} della velocità angolare.

Figura 2. Diagramma di corpo libero sulla sezione centrale della palla sulla sponda.