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PuntiLagrangiani< La conservazione del momento angolare e le orbite dei pianeti | Indice | Moto e bicicletta in curva e conservazione del momento angolare > Nel sistema Sole-Terra (S-T) esistono 5 punti, scoperti da Lagrange, in cui un corpo materiale che orbita con lo stesso periodo della Terra è in equilibrio, ossia subisce forza risultate nulla. Sono chiamati punti Lagrangiani, {$L_i,\,i=1,2,\cdots,5$} e due di essi sono occupati da Webb e in futuro da LISA, due osservatori astronomici orbitanti. Come si trovano questi punti? Il primo passo è riconoscere che il problema va trattato in un sistema non inerziale, che ruota assieme alla tera. Se {$T$} è il periodo e {$\omega =2\pi/T$} la verocità angolare della Terra nella sua orbita, iniziamo a trattare la Terra in questo sistema. Nel sistema del centro di massa, C, che coincide (quasi) col centro del Sole, scriveremmo la seconda legge di Newton come \begin{equation} \frac{GMm}{R^2} = m\omega^2R \end{equation} dove {$R$} è (quasi) la distanza Sole-Terra e {$M,m$} le masse di Sole e Terra, rispettivamente. Nel sistema rotante, in cui la Terra è ferma (accelerazione apparente nulla, quindi forza nulla) occorre aggiungere la forza apparente {$-m\omega^2R$} e scrivere la seconda legge come \begin{equation} \frac{GMm}{R^2} +(- m\omega^2R)= m \cdot 0 \end{equation} che fornisce la stessa soluzione. Si è detto che {$R$} è 'quasi' la distanza S-T perché in realtà è la distanza Terra-C, che si trova a sua volta a distanza {$x =mR/(M+m)\approx (m/M) R \approx 0$} dal Sole. Troviamo i primi tre punti {$L_1, L_2, L_3$} trascurando la piccola differenza tra S e C e chiamando {$u$} la massa dell'oggetto orbitante. Ragionando con le forze ci sono tre punti in cui la risultante della forza di gravità di S, di quella di T e della forza apparente, F, tutte collineari, si cancellano. Il primo è tra S e T, a distanza {$r_1$}, le due forze di gravità sono opposte e F è nella direzione della forza di T. Ossia \begin{equation} \frac{GMm}{r_1^2} = \frac{GMm}{|R-r_1|^2} + u\omega^2r_1 \end{equation} Il secondo punto, a distanza {$r_2$} da S, è dietro la Terra e le forze di S e T sono opposte ad F, ossia \begin{equation} \frac{GMm}{r_2^2} + \frac{GMm}{|R-r_2|^2} =u\omega^2r_2 \end{equation} Il terzo punto, a distanza {$r_3$} da S, è dietro ad S, e le forze di S e T sono dirette in verso opposto ad F, quindi \begin{equation} \frac{GMm}{r_3^2} + \frac{GMm}{|R+r_3|^2} =u\omega^2r_3 \end{equation} Un altro modo per identificare questi tre punti è di trovare il massimo dell'energia potenziale, che è la somma delle energie potenziali di S e T, più l'energia potenziale della forza apparente, che vale {$-u\omega^2 r^2/2$}, è nulla su S e diverge a {$-\infty$}, ossia \begin{equation} U(r) = - \frac{GMm}{r^2} - \frac{GMm}{|R-r|^2} - u\omega^2r^2/2 \end{equation} I minimi di {$U$} sono quattro, infatti {$U$} tende a {$-\infty$} per {$r\rightarrow \infty$} sia dietro che davanti ad S, e anche su S ({$r=0$}) e su T ({$r=+R$} Tra questi quattro minimi devo esserci tre massimi, soluzioni dell'equazione {$dU/dr=0$}, ma non occorre risolverla, visto che coincidono con {$r_1,r_2,r_3$}. Il problema più sottile è trovare {$\mathbf{r}_{4,5}= (x,\pm y)$}, dove {$x$} è lungo la congiungente S T, ed {$y$} è ortogonale ad essa. Usiamo solo due coordinate perché è evidente che tutti e 5 i punti Lagrangiani devono giacere nel piano dell'eclittica (l'orbita ellittica di T). In questo caso non si può più trascurare la differenza tra S e C, e la forza di gravità di S è diretta al centro di S, (0,0), mentre F è diretta verso C, che sta davanti ad S, in {$[(m/M)R, 0]$}. Questo garantisce che, là dove i moduli delle due forze sono uguali, la loro somma sia molto più piccola e diretta quasi perpendicolare ad entrambe, ossia grossomodo lungo la congiungente con T, in verso opposto, in modo da dare forza nulla con la forza di gravità di T. Si può trovare un punto in cui questa relazione aporossimata si realizza esattamente da ciascun lato della congiungente S-T, quindi due in tutto. Il modo per trovare con esattezza questi punti è di scrivere l'energia potenziale {$U$} come \begin{align*} U(x,y) &= - \frac{GMm}{(x-m/(M+m)R)^2+y^2} \\ \cr & - \frac{GMm}{(R(1+m/(M+m))-x)^2 +y^2} \\ \cr & - u\omega^2[x-m/(M+m)R)^2+y^2]/2 \end{align*} e le soluzioni soddisfano {$\partial U/\partial x, \partial U/\partial y= 0,0$} < La conservazione del momento angolare e le orbite dei pianeti | Indice | Moto e bicicletta in curva e conservazione del momento angolare > |