PianetaOrbitaEllittica

Lungo un'orbita circolare la velocità di un pianeta di massa {$m$}, molto minore della massa del sole {$M\gg m$}, è fissata dall'uguaglianza tra accelerazione centripeta e accelerazione di gravità. Questa uguaglianza è valida perchè a) la velocità in ogni punto dell'orbita è perpendicolare al raggio e quindi b) l'accelerazione totale coincide con l'accelerazione centripeta¹. In definitiva per la II legge della dinamica:

(1) {$ m \frac{v^2} R = G \frac {Mm} {R^2}$}

¹ il suo unico effetto è di curvare la traiettoria, senza variare il modulo di {$\mathbf v$}

Anche in un punto generico di un'orbita ellittica la velocità è tangenziale. Però l'accelerazione, diretta verso il sole che giace in un fuoco dell'orbita, ha anche una componente tangenziale che modifica il modulo della velocità.

Per studiare questo caso più complicato occorre fare due premesse, una geometrica, sulla traiettoria ellittica, ed una fisica, che riguarda la conservazione del momento angolare. Partiamo da quest'ultima, che sappiamo valere perchè consideriamo che sul sistema sole-pianeta agisce solo la forza di gravità reciproca, ossia una forza interna². Stiamo trascurando ovviamente l'effetto di altri pianeti, di altri sistemi solari distanti, della galassia etc.

² La risultante dei momenti delle forze esterne (nulle) è nulla,la seconda equazione cardinale impone {$\frac {d{\mathbf L}}{dt}=0$}, ossia {$ {\mathbf L}=$} costante

Per l'orbita circolare già calcolata si controlla facilmente che la quantità {${\mathbf L} = m {\mathbf r} \times {\mathbf v}$} è conservata: scegliamo il sole come centro della rotazione, in modo che {$\mathbf v$} e {$\mathbf r$} sono di modulo costante e sempre perpendicolari tra loro. Il momento angolare risulta³ {$L=m\sqrt{GMR}$} in modulo, diretto lungo la perpendicolare al piano dell'orbita (l'asse {$\hat z$}).

³ basta sostituire {$v=\sqrt{\frac {GM} R}$}, ricavata dalla Eq. (1)

Viceversa vedremo subito che per l'orbita ellittica la velocità varia da punto a punto. Nel disegno a sinistra {$a$} e {$b$} sono i due semiassi dell'ellisse e {$f$} è la distanza dei due fuochi dal centro. I punti appartiengono all'ellisse se la somma delle loro distanze dai due fuochi è costante⁴.

Sfrutteremo due punti particolari, quello più vicino al sole ({$P_1$}, il perielio) e quello più lontano ({$P_2$}, l'afelio), agli estremi dell'asse maggiore dell'ellisse. Sono gli unici due punti della traiettoria in cui la tangente è perpendicolare alla distanza dal sole, ossia l'accelerazione è solo centripeta. Per questo si può scrivere il modulo del momento angolare ignorando il fattore {$\sin\theta=1$} del prodotto vettoriale. La conservazione del momento angolare implica che {$L$} è uguale nei due punti

(2) {$ mv_1(a-f)= m v_1 r_1=m v_2 r_2 = m v_2 (a+f) $}

L'uguaglianza mostra che la velocità varia in modo inverso alla distanza dal sole, ossia che la velocità è massima all'afelio e minima al perielio.

⁴ Uguagliando la somma delle distanze dai fuochi per {$P_{1,2}$} e per {$P_3$} si ottiene: {$ (a-f)+(a+f)=2a = 2\sqrt{b^2+f^2} $}.

Questa sola equazione non può fissare le velocità nei due punti dell'orbita, ma solo il loro rapporto. La conservazione dell'energia meccanica, fornisce la seconda condizione e la soluzione del problema:

(3) {$E=\frac 1 2 mv_1^2 - G \frac {mM}{r_1} = \frac 1 2 mv_2^2 - G \frac {mM}{r_2} $}

Sostituendo la (2) nella (3) si ottiene la velocità al perielio⁵:

(4a) {$ v_1=\sqrt{\frac{GM} a\, \frac{a+f}{a-f}} = \sqrt{\frac {GM} a\, \frac{1+e}{1-e} }$}

In base all'Eq. (2) per la velocità all'afelio vale l'espressione simmetrica

(4b) {$ v_2=\sqrt{\frac{GM} a\, \frac{a-f}{a+f}} = \sqrt{\frac {GM} a\, \frac{1-e}{1+e} }$}

Infine si controlla facilmente che con questa notazione l'energia totale, Eq. (3), è determinata solo dal semiasse maggiore dell'ellisse:

(5) {$ E= -\frac 1 2 m \frac {GM} a $}

⁵ conviene scrivere {$r_{1,2}=a\pm f$}, con {$f=\sqrt{a^2-b^2}$}. In funzione di {$e= \frac f a$}, eccentricità dell'ellisse, {$r_{1,2}=a(1\pm e)$}.

mentre l'asse minore seleziona il momento angolare⁶:

(6) {$ L= m b\sqrt{\frac {GM} a} = b\sqrt{-2m E}\, = a\sqrt{-2m E(1-e^2)} \, ,$}

ricordando che {$E$} è negativa.

In definitiva per catalogare le orbite chiuse occorrono due grandezze:

• L'energia totale {$E$}, Eq. (5), che si può sempre vedere come l'energia dell'orbita circolare di raggio {$a=R$}
• Il momento angolare {$L$}, Eq. (6).

{$L$} è massimo per {$b=R$} (orbita circolare) e vale {$L_0=\sqrt{-2m E} R= m\sqrt{GMR}$}, con velocità uniforme {$v_0=\sqrt{\frac{GM} a}$}. Allora la quantità adimensionale {$\frac {L} {L_0} = \frac b R \le 1$}, tanto più piccola quanto più oblunga è l'ellisse, classifica le orbite di pari energia totale.

⁶ basta calcolarlo ad esempio in {$P_1$}, ricordando che {$\sqrt{(a-f)(a+f)}=b$}, ossia {$b=a\sqrt{1-e^2}$}

Lungo ciascuna orbita ellittica la velocità varia tra un massimo,{$ v_1=v_0\sqrt{\frac{a+f}{a-f}}>v_0$} Eq. (4a), al perielio e un minimo, {$v_2=v_0\sqrt{\frac{a-f}{a+f}}<v_0$} Eq. (4b), all'afelio