< Piano inclinato e conservazione della quantità di moto | Indice | Momento d'inerzia della sfera e della palla >
Consideriamo due masse {$m$} ed {$M$} legate da una molla ideale di costante {$k$},
su un piano orizzontale senza attrito. La lunghezza a riposo della molla è {$l$}. Allunghiamo la molla ({$x>l$}) e rilasciamo le due masse con velocità iniziale nulla. Esse oscillano attorno al centro di massa1 del sistema.
|
Infatti la forza risultante su ciascuna di esse è solo la forza della molla, uguale ed opposta ai suoi due estremi. Essa è interna al sistema molla-masse. Quindi il sistema è soggetto ad una risultante esterna nulla, e di conseguenza la sua quantità di moto totale P si conserva. P è inizialmente nulla (entrambe le masse sono ferme), quindi il centro di massa deve rimanere sempre fermo.
Se ora spostiamo l'origine O dell'asse x nel centro di massa (questa è la strategia più semplice per affrontare problemi con due corpi dotati di massa), le posizioni di m e di M all'istante iniziale risultano rispettivamente:
{$\begin{eqnarray*}x_1&=&0-x_{cm}=-\frac {Mx} {m+M}\, , \\ x_2&=&x-x_{cm}=x-\frac {Mx} {m+M} = \frac {mx} {m+M}\end{eqnarray*}$}
Prima ancora di calcolare la dinamica, dall'espressione di queste due coordinate è già evidente che, per oscillare senza spostare il centro di massa, le due masse devono rispettare ad ogni istante la stessa relazione, con un valore di x(t) generico, che rappresenta la lunghezza della molla2.
|
Inizialmente consideriamo la massa {$m$} nell'origine:
{$x_1^\prime=0, \quad x_2^\prime=x$}, quindi
1 il centro di massa è in
{$x_{cm}=\frac{Mx}{m+M}$}
|
|
Per controllare che ciò sia vero scriviamo la seconda legge di Newton per ciascuna massa. Notiamo che l'elongazione (la differenza tra la lunghezza ad un dato istante istante e quella a riposo, l) è x(t)-l. Teniamo in conto che uno spostamento di M nel verso positivo dell'asse x allunga la molla mentre uno spostamento di m che ha lo stesso effetto è in verso opposto. Di consegienza la forza di Hooke sulle due masse è proporzionale alla stessa elongazione x-l, ma con segni opposti. Allora si avrà:
{$ \begin{eqnarray*}m\frac{d^2 x_1}{dt^2}&=&k(x-l)\\ M\frac{d^2 x_2}{dt^2}&=&-k(x-l)\end{eqnarray*}$}
Dividendo la prima equazione per m, la seconda per M e facendo la differenza2, si ottiene una nuova equazione differenziale:
{$\frac{d^2 x}{dt^2} = -(\frac k m + \frac k M) (x-l)$}
|
2 infatti la distanza tra le masse resta sempre
{$x_2-x_1=\frac{mx-(-Mx)}{m+M}=x $}
|
in cui abbiamo utilizzato il fatto che x2 - x1=x, e che la derivata della differenza è ugiale alla differenza delle derivate. Il significato di questa equazione diventa più chiaro se si ribattezza l'elongazione, x'=x-l e si definisce una massa ridotta {$ \mu= \frac{mM}{m+M}$}. Infatti da questa definizione risulta che il coefficiente di x' nell'equazione differenziale si può riscrivere come k/μ e quindi:
{$ \frac{d^2 x'}{dt^2} = -\frac k {\mu}x'$}
(abbiamo anche utilizzato il fatto che le derivate di x e di x' coincidono). La soluzione dell'equazione è {$x'=x_0 \cos(\omega t+\phi)$} con {$\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}$}
Questo risultato descrive come oscilla l'elongazione (ossia come la lunghezza della molla oscilla attorno al suo valore a riposo l). Il moto è uguale a quello di una massa pari a μ legata ad un estremo della stessa molla, quando l'altro estremo è tenuto fisso.
< Piano inclinato e conservazione della quantità di moto | Indice | Momento d'inerzia della sfera e della palla >
