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Calcoliamo i momenti d'inerzia si alcuni solidi omogenei semplici attorno ad assi passanti per il loro centro di massa.
Momento d'inerzia della sfera e della palla
I momento d'inerzia per un oggetto continuo è definito dalla relazione
(1) {${\cal I}=\int_V \rho r^2 dV$}
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dove {$\rho dV$} rappresenta la massa dell'elemento infinitesimo di volume {$dV$} che sta a distanza {$r$} dall'asse di rotazione.
La densità volumica di massa, {$\rho$}, potrebbe variare da punto a punto, in un oggetto non omogeneo, ma nei casi più semplici è una costante data dal rapporto tra massa totale {$M$} e volume complessivo {$V$}.
Nel caso in esame la massa è distribuita su una sfera (o crosta sferica) di raggio {$R$} e di spessore trascurabile. Vogliamo calcolare il momento d'inerzia {$\cal I$} rispetto ad un asse di rotazione che passa per il centro di massa (il centro della sfera).
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Conviene allora ridefinire una densità di massa superficiale {$\sigma=M/4\pi R^2$} omogenea e l'equazione (1) diventa
(2) {${\cal I}=\sigma\int_S r^2 dS$}
dove {$dS$} è la superficie infinitesima di una porzione di sfera a distanza {$r$} dall'asse. Si tratta della striscia ad anello visualizzata nel disegno, di area pari alla lunghezza della circonferenza per lo spessore, {$2\pi rdl$}. Quindi, sostituendo1 {$dl$} e {$r$} nell'integrale (2), si ottiene:
(3) {${\cal I}=\frac M {4\pi R^2} \int_0^\pi R^2\sin^2 \theta\, 2\pi R\sin\theta Rd\theta$}
Con semplici calcoli2 si ottiene
(4) {${\cal I}=\frac 2 3 M R^2$}
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1 la lunghezza dell'arco nella sezione della sfera è {$dl=Rd\theta$}
e il raggio dell'anello {$r=R\sin\theta$} è anche la distanza dall'asse di rotazione
2 l'integrale risulta
{$\int_0^\pi\sin^3\theta d\theta=\int_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac 4 3$}
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Momento d'inerzia della palla
Il momento d'inerzia della palla (sfera piena) si calcola a partire da quello della sfera. Se si scompone un solido in parti di qualunque forma il momento d'inerzia totale rispetto ad un asse dato è la somma dei momenti d'inerzia delle singole parti rispetto allo stesso asse. Questo è garantito dalla definizione, equazione (1), che comporta un integrale di volume. Infatti esso è la somma degli integrali di volume delle singole parti, e, supponendo parti infinitesime, si può scrivere {${\cal I}=\int d{\cal I}$}.
Quindi si può calcolare il momento di inerzia della palla di raggio {$R$} come la somma di tante sfere concentriche, di raggio {$r$} variabile tra 0 e {$R$}, ossia, passando all'integrale,
(5) {${\cal I}=\int_0^M \frac 2 3\, r^2\, dM(r)$}
In questa espressione si riconosce il momento d'inerzia (4) di una sfera di massa {$dM$}. Si tratta di identificare la massa {$dM$} come prodotto della densità {$\rho=3M/4\pi R^3$} per il volume della sfera di raggio {$r$} e di spessore infinitesimo {$dr$}. Il volume si ottiene a sua volta come prodotto della superficie, {$4\pi r^2$}, per lo spessore {$dr$} e in definitiva:
(6) {${\cal I}=\frac {3M} {4\pi R^3}\, \frac 2 3 \int_0^R r^2\, 4\pi r^2 dr=\frac 2 5 MR^2$}
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Momento d'inerzia della barra sottile
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Il momento d'inerzia di una barra cilindrica di raggio {$R$} e lunghezza {$L$} attorno all'asse della barra è un calcolo elementare e risulta {${\cal I}=MR^2/2$}
Per una barra sottile3, di sezione qualunque {$S$} e lunghezza {$L$}, il calcolo del momento d'inerzia rispetto all'asse perpendicolare al lato lungo comporta suddividere la barra nelle fette mostrate in sezione in figura, la cui distanza dall'asse è pari ad {$x$}
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3 si intende sottile se {$L\gg \sqrt S$}
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In questo caso la densità volumica di massa è {$\rho=M/SL$}, la massa della fetta è {$\rho S dx$}, la distanza della fetta dall'asse è pari ad {$x$} e il momento d'inerzia risulta
(6) {${\cal I}=\frac {M} {SL}\, \int_{-L/2}^{L/2} x^2\, Sdx =\frac {ML^2} {12} $}
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Momento d'inerzia della lastra
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