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IILeggeKeplero

< Le leggi di Keplero dalle leggi di Newton | Indice | L'esperimento di Cavendish: misura di G e della massa della terra? >

Approfondimenti

Abbiamo ricavato la III legge di Keplero nel caso semplice di orbita circolare. Il caso generale e le altre due leggi sono piuttosto complicate da ricavare Questa pagina illustra più sotto la dimostrazione meno complessa tra le rimanenti, la II legge. È un argomento speciale, non incluso nel corso standard. In generale su questi argomenti più avanzati esistono ottime risorse in Wikipedia:

In problemi di pianeti, stelle, satelliti si trattano i due corpi a due a due. Partendo da un corpo si sceglie il corpo con cui esso interagisce con la forza più intensa e si assumono trascurabili le interazioni con ogni altra massa. Questo non è sempre possibile. Quando lo è consente, ad esempio di trattare l'orbita della terra attorno al sole e della luna attorno alla terra come problema di Keplero. Nel problema di Keplero (o dei due corpi)

• Si conserva l'energia totale {$E$}, energia cinetica più energia potenziale gravitazionale. Le traiettorie sono sezioni coniche. Orbite chiuse, ossia ellissi e cerchio, se l'energia totale è {$E<0$}; parabola, se{$E=0$}; e rami di iperbole {$E>0$}.
• Siccome la forza di gravità è centrale si conserva il momento angolare {$\mathbf L$},
• Si conserva anche un secondo vettore, chiamato vettore di Laplace-Runge-Lenz, che rappresenta l'eccentricità dell'orbita. La conservazione è dovuta alla dipendenza esatta della forza di gravitazione da {$r^{-2}$}.

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II legge di Keplero: aree uguali sono spazzate in tempi uguali

La I legge stabilisce che l'orbita di un pianeta attorno al Sole descrive un'ellisse con il Sole in uno dei fuochi.

La II legge dice che il vettore posizione del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Facendo riferimento alla figura qui sotto, l'area infinitesima {$dA$} spazzata nel tempo {$dt$} è quella di un triangolo rettangolo con un cateto pari ad {$r$} e l'altro cateto, infinitesimo, pari ad {$rd\theta$} (area rossa). La differenza dovuta al fatto che l'arco di ellisse non è perpendicolare al raggio è trascurabile (area arancione, {$rdrd\theta/2$}, un infinitesimo di ordine superiore). In definitiva

{$$ \frac {dA} {dt}= \frac 1 2 r^2 \frac {d\theta}{dt}$$}

Si mostra che questa quantità è costante a partire dalla conservazione del momento angolare. Per sistemi di masse la II legge della dinamica implica che

{$$ \frac {d \mathbf L} {dt} = {\boldsymbol \tau}_e $$}

ovvero se due masse (ad es. Sole-Terra, trascurando l'effetto degli altri corpi celesti) sono un sistema isolato, e quindi non c'è momento torcente risultante delle forze esterne {$\boldsymbol \tau_e$}, il momento angolare {${\mathbf L}={\mathbf r}\times m \mathbf v $} si conserva.

Il momento angolare si può calcolare considerando un sistema di riferimento ortogonale formato dalla direzione del raggio {$\hat r$}, da quella perpendicolare nel piano dell'orbita {$\hat \theta$} e da quella perpendicolare al piano {$\hat z$}. Si ha {$${\mathbf L}= r\hat r \,\times\, m\left(\frac{dr}{dt}\hat r +r\frac{d\theta}{dt}\hat \theta\right)$$} Nel membro di destra si riconosce il prodotto vettoriale tra r e p=mv, dove la velocità rappresentata in figura ha una componente parallela ed una perpendicolare ad r. Siccome {$\hat r \times \hat r = 0$} il primo termine è nullo e si può scrivere il momento angolare come {$${\mathbf L} = m r^2 \,\frac {d\theta} {dt}\, \hat z $$} dove {$ \hat r \,\times\, \hat \theta = \hat z$}. Di conseguenza la conservazione del momento angolare implica che {$ \frac 1 2\,r^2 \,\frac {d\theta} {dt}$} sia costante, ovvero, in base alla prima equazioni di questa pagina, che {$\frac{dA}{dt}$} sia anch'essa una quantità costante.

Posizione della terra rispetto al Sole (nell'origine) in due istanti successivi t e t+dt ed area spazzata dA, in colore. Per dt infinitesimo l'area arancione è trascurata rispetto all'area rossa.

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