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Newton

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Il progetto ambizioso di Newton, spiegare il moto dei pianeti con le sue leggi della dinamica, è legato all'aneddoto della mela. La domanda che Newton si pone è illustrata dalla figura: La mela cade sotto l'effetto della forza di gravità. Se devono valere le stesse leggi terrene anche per i corpi celesti perché la Luna non cade sulla Terra? Il primo passo compiuto da Newton è l'identificazione della forza di gravità, la legge di gravitazione universale. Deve valere per le mele e per la Luna. Deve predire la traiettoria della mela che cade e l'orbita ellittica delle Luna attorno alla Terra. In quest'ultimo caso le dimensioni della Terra e della Luna,enormi, sono comunque così più piccole della loro distanza che la legge avrà l'espressione di una forza tra due masse puntiformi.

Per identificare la forza di gravità universale Newton utilizzo i seguenti tre concetti.

III principio. La forza di gravità sulla mela è, in modulo, F = mg, proporzionale alla massa della mela. Ma siccome è dovuta alla Terra si tratta di una interazione: la forza che la Terra esercita sulla mela. Per il III principio della dinamica la mela deve esercitare una forza uguale e contraria sulla Terra (ovviamente l'accelerazione della mela è, in modulo, F/m = g, mentre l'accelerazione della Terra, F/M_T , è circa 10^-27 volte g , e la ignoriamo, il fattore è rapporto delle masse). Ma resta il fatto che la forza F deve essere proporzionale anche ad M_T : la forza di gravità tra due masse è proporzionale al prodotto delle masse.

Simmetria. Consideriamo ad esempio la forza esercitata dalla Terra sulla Luna. Risulta naturale mettere la Terra al centro e indicare la posizione della Luna con un vettore r diretto verso di essa. La forza deve essere diretta nella stessa direzione per simmetria (un modo per dire che non c'è nessuna altra direzione in cui ha senso pensarla), ma in verso opposto ad r.

Intensità della forza. Per rispettare la III legge di Keplero vedremo sotto che la forza deve essere inversamente proporzionale al quadrato della distanza, se la distanza si dimezza la forza aumenta di quattro volte. Viceversa la proporzionalità significa scrivere un fattore costante G nell'espressione della forza. Lo chiameremo costante di gravitazione universale perchè ha lo stesso valore per le mele e i corpi celesti, e anche in un'altra galassia. Riassumendo la forza che la massa m₁ esercita sulla massa m₂ , a distanza r, vale:

{$$ \mathbf{F} = - G {{m_1 m_1} \over {r^2}} \hat r $$}

dove {$\hat r$} è il versore che va da m₁ a m₂ e il segno meno indica che la forza invece è diretta verso m₁ . Notatre che la costante G non è un numero, la sua unità di misura S.I. è N m² kg^-2.

Legge dei periodi. L'espressione scritta qui sopra giustifica tutte e tre le leggi di Keplero, ma la derivazione generale è piuttosto complicata (è mostrata più avanti per chi volesse i dettagli). Qui dimostreremo solo la III legge per un'orbita circolare, supponendo m1 = M, massa del Sole, m2 = m, massa del pianeta, ed R la loro distanza. Occorre considerare innanzitutto che F è l'unica forza, ossia la forza risultante sul pianeta, ovvero la forza centripeta che fa curvare l'orbita in una circonferenza. Allora l'accelerazione che si ottiene dividendo il modulo F per m deve corrispondere all'accelerazione ceentripeta, che possiamo scrivere {$$\omega^2 R=G{M \over {R^2}} $$} (il segno meno è scomparso perchè stiamo utilizzando il modulo dell'accelerazione, sappiamo che è diretta verso il centro, ossia verso il Sole).

Figura presa da hyperphysics

Notare che l'uguaglianza tra accelerazione centripeta e F/m è l'espressione della seconda legge della dinamica per il pianeta soggetto alla forza di gravità del Sole. Si compie qui il programma di Netwton: scopriire le leggi universali della dinamica, scoprire la legge universale della gravitazione e ricavare lo strano moto dei pianeti (incluso il moto apparente retrogrado) da queste sole due leggi.

Ricordando che la velocità angolare ω è pari all'angolo giro, 2π, diviso per il periodo T, si ottiene per sostituzione che

{$$T^2 ={ {(2\pi)^2} \over {GM} } R^3 $$}

Come osservò Keplero, e come è mostrato in figura, il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del raggio (per orbite ellittiche al cubo dell'asse maggiore). La capacità di predire correttamente la legge empirica di Keplero è una conferma della correttezza del programma di Newton.

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