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Schermo< Atomo di Elio e atomi a due elettroni | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Metodo variazionale: caso dell'elio > Equazione di Schrödinger Sperimentalmente l'atomo di elio viene completamente ionizzato dall'assorbimento di {$-E_{\rm exp}=78.9\,\mbox{eV}$} Se per il momento si trascurano del tutto le correzioni relativistiche, l'Hamiltoniana è: {$$\begin{equation} {\cal H } = \underbrace{\sum _{i=1}^2\left(\frac {\hbar^2} m\frac {-\nabla_i^2} 2 -k_e e^2\frac Z {r_i}\right)}_{{\cal H}_0} + \underbrace{k_e e^2 \frac 1 {r_{12}}}_{{\cal H}_{12}}\end{equation}$$} in cui l'indice {$i=1,2$} identifica i due elettroni e {${\cal H}_0$} è la somma di due Hamiltoniane di atomi idrogenoidi. Il secondo termine {${\cal H}_{12} $} è la repulsione Coulombiana tra elettroni e {$r_{12}=|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|$}. Alcune considerazioni prima di proporne la soluzione in passi di migliore approssimazione successivi:
{$$\begin{equation} {\cal H } = 2 R_H \underbrace{\sum _{i=1}^2\left(\frac {-\nabla_{x_i}^2} 2 -\frac Z {x_i}\right)}_{{\cal H}_0} + \underbrace{\frac 1 {x_{12}}}_{{\cal H}_{12}}\end{equation}$$} ossia, ritornando a riscrivere per comodità {$r_i$} come variabile adimensionale, al posto di {$x_i$}, in unità di 1 Hartree {$=2R_H = 27.2 \mbox{eV}$}: {$$\begin{equation} {\cal H } = \underbrace{\sum _{i=1}^2\left(\frac {-\nabla_i^2} 2 -\frac Z {r_i}\right)}_{{\cal H}_0} + \underbrace{\frac 1 {r_{12}}}_{{\cal H}_{12}}\end{equation}$$} L'autovalore dell'energia {$E$} per l'equazione di Schrödinger agli stati stazionari va confrontato con il valore sperimentale {$E_{\rm exp} = -78.9\,\mbox{eV}=-2.902\, \mbox{Hartree}$}. Ignoriamo in primissima approssimazione la repulsione tra elettroni {${\cal H}_{12}$}. Tutte le funzioni {$\Psi=\Psi(r_1)\Psi(r_2)=|n_1 l_1 m_1\rangle |n_2 l_2 m_2\rangle$} sono autofunzioni di {${\cal H}_0$} di autovalore {$$\begin{equation}E_{n_1} + E_{n_2}=-\frac{Z^2} 2 \left(\frac 1 {n_1^2} + \frac 1 {n_2^2}\right)\end{equation}$$}. In particolare lo stato fondamentale è {$|1\, 0\, 0\rangle\, |1\, 0\, 0\rangle$}, con autovalore {$E^{(1)}=2E_1=-Z^2$}, ossia -4 Hartree, pari a -108.8 eV, per l'elio (cfr. E exp). La differenza, pari a 1.1 Hartree è una frazione rilevante del valore trovato. Per un livello non degenere, come lo stato fondamentale, la correzione a questo valore al prim'ordine nella repulsione {${\cal H}_{12}$} è {$$\begin{equation} \langle 1\,0\,0|\langle 1\,0\,0| \frac 1 {r_{12}}|1\,0\,0\rangle|1\,0\,0 \rangle = \int d^3 r_1 d^3 r_2 \Psi^*_{1s}(\mathbf{r}_1) \Psi^*_{1s}(\mathbf{r}_2)\frac 1 {r_{12}} \Psi_{1s}(\mathbf{r}_1) \Psi_{1s}(\mathbf{r}_2) \end{equation}$$} Il calcolo dell'integrale è lungo e viene tratteggiato qui?. Il risultato è {$5Z/8$}. Ovviamente dipende dalle funzioni 1s usate specificamente per lo stato fondamentale. Lo stesso tipo di integrale fornisce un valore diverso per ciascun diverso stato eccitato. Sommando questo valore a quello trovato in precedenza si ottinene {$$E^{(2)}= -Z^2+\frac 5 8 Z = -2.75\, \mbox{Hartree}$$} Questo risultato è già abbastanza vicino al valore sperimentale, con una deviazione di 0.15 Hartree, ossia circa 4.1 eV, pari al 5%. Inoltre mostra che la repulsione Coulombiana tra gli elettroni è veramente rilevante e contribuisce circa ll 20% dell'energia. Per affinare ulteriormente questo risultato conviene introdurre un calcolo variazionale che sfrutterà i risultati ottenuti fin qui. < Atomo di Elio e atomi a due elettroni | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Metodo variazionale: caso dell'elio > |