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IntroduzioneFisicaMateria.Indice Mostriamo che {$$ S^2=s_1^2+s_2^2+\frac1 2\left(s_{1+}s_{2-}+s_{1-}s_{2+}\right)+2s_{1z}s_{2z}$$} Occorre calcolare {$(s_1+s_2)^2=s_1^2+s_2^2+2\mathbf s_1\cdot\mathbf s_2$} e poi riconoscere che {$$ 2 \mathbf s_1\cdot\mathbf s_2 = 2(s_{1x}s_{2x}+s_{1y}s_{2y}+s_{1z}s_{2z})$$} Inoltre {$$s_{kx} = \frac1 2(s_{k+}+s_{k-})\quad s_{ky} = \frac 1 {2i} (s_{k+}-s_{k-}),\quad k=1,2$$} da cui {$$s_{1x}s_{2x}+s_{1y}s_{2y} = \frac 1 2 (s_{1+}s_{2-}+s_{1-}s_{2+})$$} Questo operatore distrugge {$|\uparrow\uparrow\rangle$} e {$|\downarrow\downarrow\rangle$}, e scambia tra loro {$|\uparrow\downarrow\rangle$} e {$\downarrow\uparrow\rangle$}. Se calcoliamo ora {$S^2$} sui primi due otteniamo l'autovalore {$\frac 3 4 + \frac 3 4 +2\frac 1 2\frac1 2=2$}. Si tratta quindi di stati con {$S=1$}. Viceversa {$$S^2\frac {|\uparrow\downarrow\rangle \pm |\downarrow\uparrow\rangle} {\sqrt 2}=\left(\frac 3 4 + \frac 3 4 \pm 1-2\frac 1 2\frac1 2\right)\frac {|\uparrow \downarrow\rangle\pm |\downarrow\uparrow\rangle} {\sqrt 2}$$} che corrispondono rispettivamente ad {$S=1,0$}. Torna a orto e para-elio |