PmWikiFisica | IntroduzioneFisicaMateria / Microstati browse

IntroduzioneFisicaMateria.Indice

Vogliamo mostrare che, con 2 elettroni dello stesso tipo, p, d, f, ... (l₁ = l₂ = k), i termini spettrali con l totale dispari non esistono come singoletti e i termini con l totale pari non esistono come tripletti, come descritto in Boro-Neon. Innanzitutto ricordiamo che corrispondono ad ogni modo di disporre 2 stati di spin in 2(2k+1) possibili stati ad un elettrone (ad esempio i 6 possibili stati p, per k=1), senza distinguere quale elettrone ha quale spin, ossia {$\frac {(4k+2)!(4k+1)!}{2!} = (2k+1)(4k+1)$}.

Occorre enumerarli in dettaglio, in modo sufficientemente generale. Elenchiamo in una tabella i microstati (le configurazioni di singoli elettroni di definito l_i, s_i con i = 1,2) che corrispondono a stati complessivi con m_s = 0. Per costruirli basta considerare tutte le combinazioni con un elettrone spin su ed uno spin giù. Le elenchiamo solamente per contarle e ci limitiamo a quelle con {$m\ge 0$}, che collocheremo in una tabella definendone così anche {$m_{l_{1,2}}$} e quindi {$m$}.

{$$ \begin{matrix} m_{l_i} & k & k-1 & k-2 & \cdots &1 & 0 & -1 &\cdots & -k+2 & -k+1 & -k & M \\ & \uparrow \downarrow & & & & & & & & & & & 1\\ & \uparrow &\downarrow & & & & & & & & & & 2\\ & \uparrow & & &\downarrow & & & & & & & & 2\\ & \cdots \\ & \uparrow & & & & & & & & & & \downarrow& 2\\ \end{matrix} $$} L'ultima colonna a destra è la molteplicità (infatti a tutte le righe, tranne la prima, corrisponde un altro microstato con spin su e giù scambiati). Esistono poi anche {$$ \begin{matrix} m_{l_i} & k & k-1 & k-2 & \cdots &1 & 0 & -1 & \cdots & -k+2 & -k+1 & -k & M \\ & &\uparrow \downarrow & & & & & & & & & & 1\\ & &\uparrow &\downarrow & & & & & && & & 2\\ & &\uparrow & & &\downarrow & & & && & & 2\\ & \cdots \\ & &\uparrow & & & & & & & & \downarrow& &2\\ & \cdots \\ & & & & & \uparrow \downarrow & & && & & & 1\\ & & & & & \uparrow & \downarrow& && & & & 2\\ & & & & & \uparrow & &\downarrow && & & & 2\\ & & & & & & \uparrow\downarrow& && & & & 1\\ \end{matrix} $$}

Per determinare quante sono occorre raggrupparle per vaolre di {$m$}, dal massimo, che è 2k, al minimo, 0 (abbiamo scelto di ignorare quelle con m < 0). Possiamo farlo con questa tabella

{$$ \begin{matrix} m & 2k & 2k-1 & 2k-2 & 2k-3 & \cdots &2 & 1 & 0 \\ & 1 & 2 & 2 & 2 & \cdots &2 & 2 & 2 \\ & & & 1 & 2 & \cdots &2 & 2 & 2 \\ & \cdots\\ & & & & & \cdots &1 & 2 & 2 \\ & & & & & \cdots & & & 1 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4& \cdots & 2k-1 & 2k & 2k+1 \end{matrix} $$}

dove nella prima riga si riconosce la prima tabella in alto (lo stato con spin su e giù entrambi a m_li = k avrà m = 2k ed è unico, i successivi hanno m via via decrescente, fino a 0 e molteplicità doppia). La seconda riga rappresenta l seconda tabella con i restanti microstati. È facile vedere che ce ne sono tanti quanti specifica la riga finale, ossia la somma delle colonne va da 1 a 2k+1 in passi di 1. In totale {$\sum_{i=1}^{2k+1} i = (2k+1)(k+1)$} per gli stati con m < 0 e m_s = 0.

Ora facciamo lo stesso conteggio per gli stati con m_s = $pm;1. La tabella dei microstati è la seguente

{$$ \begin{matrix} m_{l_i} & k & k-1 & k-2 & \cdots &1 & 0 & -1 &\cdots & -k+2 & -k+1 & -k & M \\ & \uparrow & \uparrow & & & & & & & & & & 2\\ & \uparrow & & \uparrow & & & & & & & & & 2\\ & \uparrow & & &\uparrow & & & & & & & & 2\\ & \cdots \\ & \uparrow & & & & & & & & & & \uparrow& 2\\ & & \uparrow & \uparrow & & & & & & & & & 2\\ & & \uparrow & & \uparrow & & & & & & & & 2\\ & & \uparrow & & &\uparrow & & & & & & & 2\\ & \cdots \\ & & \uparrow & & & & & & & &\uparrow & & 2\\ & \cdots \\ & & & & & \uparrow & \uparrow & & & & & & 2\\ & & & & & \uparrow & & \uparrow & & & & & 2\\ \end{matrix} $$}

Si noti che questa volta tutte le righe hanno una replica con spin entrambi giù, il che giustifica la loro molteplicità M = 2. Ricontiamo ora come nel caso degli stati a m_s = 0 quanti sono per ogni valore di m

{$$ \begin{matrix} m & 2k & 2k-1 & 2k-2 & 2k-3 & \cdots &2 & 1 & 0 \\ & & 2 & 2 & 2 & \cdots &2 & 2 & 2 \\ & & & & 2 & \cdots &2 & 2 & 2 \\ & \cdots\\ & & & & & \cdots & & 2 & 2 \\ \hline & & 2 & 2 & 4& \cdots & 2k-1 & 2k & 2k \end{matrix} $$}

e la somma delle colonne da 0 2 2 4 4 ... 2k 2k, ossia {$2\cdot 2\sum_{i=1}^{k} i = 2 k(k+1)$} per gli stati con m < 0 e m_s = ±1. Per riconoscerli li raggruppiamo secondu questa ultima tabella

{$$ \begin{matrix} m & |&2k & 2k-1 & 2k-2 & 2k-3 & \cdots &2 & 1 & 0 \\ m_s & |\\ \hline 1 & |&& 1 & 1 & 2 & 2 &\cdots & k & k \\ 0 & |&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 2k & 2k+1 \\ -1& |& & 1 & 1 & 2 & 2 & \cdots & k & k \end{matrix} $$}

dove si è riconosciuto che la molteplicità 2 dell'ultima tabella è dovuta a microstati con entrambi gli spin su (m_s = 1) ed entrambi giù (m_s = -1). Il conteggio finale avviene così: Il microstat0 a massimo m = 2k esiste solo per m_s = 0 e non può che essere un singoletto con l = 2k e j = 2k. (Notare: un singoletto con l pari., come descritto in Boro-Neon) Conterrà un microstato per ogni valore di m. Rimuoviamolo sottraendo 1 a tutte le colonne della riga centrale per ottenere

{$$ \begin{matrix} m & |&2k & 2k-1 & 2k-2 & 2k-3 & \cdots &2 & 1 & 0 \\ m_s & |\\ \hline 1 & |&& 1 & 1 & 2 & 2 &\cdots & k & k \\ 0 & |& & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2k-1 & 2k \\ -1& |& & 1 & 1 & 2 & 2 & \cdots & k & k \end{matrix} $$}

Ora lo stato con valore massimo di m = 2k - 1 è chiaramente un tripletto, perchè esiste con tutte e tre le proiezioni di m_s. (Notare: un tripletto con l dispari., come descritto in Boro-Neon) Questo stato avrà le tre proiezioni anche per tutti i valori di m inferiori. Per rimuoverlo occorre quindi togliere una unità da tutte le caselle non vuote, ottenendo

{$$ \begin{matrix} m & |&2k & 2k-1 & 2k-2 & 2k-3 & \cdots &2 & 1 & 0 \\ m_s & |\\ \hline 1 & |& & & & 1 & 1 &\cdots & k-1 & k-1 \\ 0 & |& & & 1 & 2 & 3 & \cdots & 2k-2 & 2k-1 \\ -1& |& & & & 1 & 1 & \cdots & k-1 & k-1 \end{matrix} $$}

È ora evidente che la struttura si riproduce e che il prossimo stato sarà un singoletto di nuovo, con l pari. E così via fino all'ultimo stato rimasto. Per costruzione questo avviene per ogni valore di k, k=1 (p), 2 (d), 3 (f) etc.

Per ritrovare tutti gli stati, (2k+1)(4k+1), occorre contare tutti questi stati 2k(k+1) + (2k+1)(k+1) e sommare ancora quelli con {$m<0$} che risultano essere 4k (k+1) per un totale di 8k² +6k+1.

IntroduzioneFisicaMateria.Indice