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IntegraliCoulombianiIntroduzioneFisicaMateria.Indice Si riporta in tabella il valore degli integrali Coulombiani, calcolati con trasformate di Fourier nellaTesi di BD Goddard, Warwick, Dept of Mathematics, 2007, sui seguenti stati idrogenoidi (in notazione di Hartree, {$r\rightarrow r/a_B, E \rightarrow E/Z^2\alpha^2mc^2 $}): {$$\begin{align} |1\,0\rangle = \psi_{1s}(r) &= R_{10}(r) Y_0^0 (\theta,\phi) = 2Z^{\frac 3 2}e^{-Zr}\,\frac 1{2\sqrt {\pi}}\\ |2\,0\rangle = \psi_{2s}(r) &= R_{20}(r) Y_0^0 (\theta,\phi) = \frac {Z^{\frac 3 2}}{\sqrt 2} \left( 1-Z \frac r 2 \right) e^{-\frac {Zr} 2}\frac 1 {2\sqrt {\pi}}\\ \cdots\\ \end{align}$$} Nella tabella qui sotto vale {$$(ij|ji)=\int_0^\infty d\mathbf r_1\int_0^\infty d\mathbf r_2 \frac {|\psi_{is}(r_1)|^2 |\psi_{js}(r_2)|^2} {r_{12}} $$}
Questi integrali si calcolano anche con sympy.physics, ad esempio con
In questo calcolo si è sfruttato il fatto che {$$ \frac 1 {r_{12}} = \frac 1 {r_>} \sum_{l=0}^\infty \frac {4\pi}{2l+1} x^l \sum_{m=-l}^l Y_l^m(\theta_1,\phi_1)Y_l^m(\theta_2,\phi_2)$$} dove {$x=r_</r_>$} e {$r_{><}$} sono rispettivamente il più lungo è il più corto tra {$r_1,r_2$}. Si sfrutta inoltre l'ortonormalità delle armoniche sferiche che comporta: {$$\int d\Omega_1 \int d\Omega_2 4\pi Y_l^m(\theta_1,\phi_!) |Y_0^0(\theta_1,\phi_1)|^2 Y_l^m(\theta_2,\phi_2) |Y_0^0(\theta_2,\phi_2)|^2 = \delta_{l,0}\delta_{m,0}$$} Energie totali di ioni a due elettroni Calcolate da Wikipedia, Dynamic Periodic Table come somma delle ultime due energie di ionzzazione (v. teorema di Koopmans), convertite da kJ mol-1 in Hartree (Ha) moltoplicando per
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