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IntegraliMonteCarlo

< Generatori di numeri pseudocasuali secondo Poisson(0,μ). | Indice | Generatori di numeri pseudocasuali secondo altre distribuzioni: rigetto. >

Integrali con il metodo del rigetto

Descriviamo ora una tecnica per calcolare l'integrale di una funzione di cui non si conosce la funzione primitiva, {$ \int_a^b f(x)dx $}. Si tratta della generalizzazione del metodo utilizzato per stimare {$\pi$}, che viene battezzato Montecarlo con evidente riferimento al famoso Casinò del Principato omonimo, perchè è basato sulla generazione di numeri casuali.

Supponiamo per semplicità che la funzione da integrare sia sempre positiva nell'intervallo d'integrazione. Di conseguenza l'integrale ha il significato geometrico di area limitata dalla curva {$f(x)$}, l'asse delle ascisse e dai due segmenti paralleli all'asse delle ordinate per {$x=a$} ed {$x=b$}.

Fig. 1 Calcolo dell'area sottesa dalla curva {$f(x)$}

Iscriviamo l'area da calcolare entro un rettangolo {$R$} che ha per base il segnento {$ab$} e per altezza il valore massimo {$c$} di {$f(x)$} (in rosso in Figura 1). Per calcolare l'area in questione basta:

• sorteggiare {$N$} punti entro il rettangolo, ossia {$N$} coppie di numeri {$(x,y)$}, con {$a \le x \le b$} e '{$0 \le y \le c$},
• contare quanti di questi, '{$m$}, cadono sotto la curva {$f(x)$}, ossia nella regione azzurra; in sostanza si tratta di effettuare il rigetto dei punti sorteggiati, se essi non soddisfano alla condizione appena esposta e da qui scende il secondo nome del metodo.

Siccome i punti casuali si distribuiscono uniformemente nel rettangolo {$R$}, il rapporto {$M/N$} è pari al rapporto tra l'area cercata e quella di {$R$}.

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