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FitNonLineareErrori

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Errori nel fit non lineare

Il significato geometrico della minimizzazione della funzione χ² rimane anche nel caso del fit non lineare. Anzi, è illuminante chiarire strategie numeriche come quelle di MINUIT proprio da un punto di vista geometrico. L'unic a differenza rispetto al caso del fit polinomiale, da questo punto di vista è che la funzione χ²(α) non è un paraboloide.

Fig. 1 La funzione, di cui qui è mostrata solo una sezione nel sottospazio di due parametri, può avere minimi secondari, oltre a quello assoluto, ed inoltre non ha una curvatura costante. La strategia della massima pendenza, descritta alla pagina precedente consiste nel seguire il gradiente della funzione fino al minimo più vicino. Il rischio è quello di finire in um minimo secondario. In figura si intravvede un minimo secondario alle spalle del minimo principale, ed altri minimi si possono supporre al di fuori dell'intervallo mostrato. Inoltre si può intuire che la strategia di Newton possa fallire anche nella regione pianeggiante per {$a_2>0$} ed a1<0, dove il gradiente non fornisce indicazioni utili.

La matrice di curvatura, o Hessiano, A, può essere valutata per differenze finite, come il gradiente, secondo l'espressione:

{$ (1) \qquad\qquad A = \frac {\partial^2 \chi^2(\alpha)} {\partial a_k \partial a_l} \approx \frac {\chi^2(a_k+da_k,a_l+da_l)+\chi^2(a_k,a_l)-\chi^2(a_k,a_l+da_l) - \chi^2(a_k+da_k,a_l)} {da_k da_l},$}

in cui si è esplicitata solo la dipendenza dai due parametri rispetto ai quali si deriva. Come nel caso polinomiale l'inverso di questa matrice, {$\epsilon=A^{-1}$}, valutata nel punto di minimo, fornisce correlazioni ed errori dei parametri:

{$ (2)\qquad\qquad \sigma_{a_k a_l}^2 = \epsilon_{kl} \qquad\mbox{e} \qquad \sigma_{a_k} = \sqrt{\epsilon_{kk}} $}

Però, a differenza del caso polinomiale, la curvatura ora non è più una costante e il significato statistico è conservato solo nell'intorno del minimo. Là le equazioni (1) e (2) forniscono una ricetta numerica per valutare errori e correlazioni tra parametri del fit. Nell'utilizzare un programma come MINUIT non occorre ricorrere esplicitamente a queste equazioni, che sono già implementate nella libreria. Il comando HESSE di MINUIT valuta la matrice degli errori. È utile, viceversa, avere ben chiaro il significato geometrico dell'esplorazione della superficie di Fig. 1, per scegliere la strategia migliore ed essere consapevoli degli inganni che ne possono nascere.

Ad esempio, come abbiamo detto, il significato di matrice degli errori è assunto da {$\epsilon$} solo nell'intorno del minimo, là dove vale un'approssimazione parabolica della superficie {$\chi^2(\alpha)$}. Quindi se si è raggiunto un minimo secondario, oppure se il programma termina senza trovare il minimo, la determinazione degli errori può essere del tutto inaccurata.

Si può mostrare che nell'approssimazione parabolica l'errore sul singolo parametro, {$a_k$}, coincide con la variazione del parametro, {$da_k$}, necessaria a far crescere {$\chi^2(\alpha)$} dal valore 1 al valore 2, mantenendo tutti gli altri parametri costanti.

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