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ChiQuadroRidotto< Confronto tra distribuzione dei dati e distribuzione limite attesa | Indice | Teorema del limite centrale > Gradi di libertà: chi quadro e chi quadro ridotto Quanto ci si deve aspettare che valga la funzione {$\chi^2$}? {$ (1) \qquad\qquad \chi^2 = \sum_{j=1}^M \frac {[h_j-NP(x_j)\Delta x]^2} {NP(x_j)\Delta x}. $} Sappiamo che è definita positiva e che deve risultare minima se la distribuzione limite scelta si adatta veramente ai dati. CI si potrebbe attendere che il valore minimo della funzione fosse zero, ma in realtà essa mantiene un valore finito. Ciascun termine della somma contribuisce infatti con una scarto quadrato a numeratore ed una varianza a denominatore. Siccome lo scarto quadratico in media è pari alla varianza il loro rapporto deve essere dell'ordine di uno. e quindi ci si deve attendere un risultato della somma dell'ordine di {$M$}. Ad un esame più attento, però, ci si rende conto che solitamente la miglior stima di {$\mu$} e di {$\sigma$} provengono dai dati stessi. Sappiamo che al più, in un modello lineare, potremmo ottenere {$N$} grandezze da altrettanti dati sperimentali, risolvendo un sistema formato da un pari numero di equazioni. Le equazioni che definiscono la media e la deviazione standard riducono il numero di equazioni linearmente indipendenti che potremmo scrivere in un tale modello e lasciano quindi solo {$\nu=M-2$} gradi di libertà. La funzione {$\chi^2$} minimizzato tende al numero di gradi di libertà {$\nu$} invece che ad {$M$}: un modo di rendersene conto è di immaginare il caso in cui ci siano solo {$M=2$} punti sperimentali attraverso cui far passar la curva, e in tal caso, scegliendo opportunamente il valor medio {$\mu$} e la deviazione {$\sigma$} si potrebbe senz'altro trovarne la distribuzione normale {$P(x_j)=P(x_j;\mu,\sigma)$} che passa esattamente attraverso i due punti, senza alcuno scarto. In quel caso ci si dovrebbe quindi attendere un valore di {$\chi^2$} minimimo pari a zero ({$M-\nu$}). È spesso utilizzato il cosiddetto chi quadro ridotto, ossia la funzione {$\chi^2$} normalizzata al numero di gradi di libertà: {$ (2) \qquad\qquad \chi_\nu^2 = \frac 1 \nu \, \chi^2, $} che deve quindi tendere a uno. Si noti che se si ottiene un valore di {$\chi^2$} molto minore di uno occorre indagarne le cause (probabilmente una errore di calcolo, oppure una stima errata della verianza dei dati). Non ci si attende che questo accada se i dati sono correttamente rappresentati dalla funzione {$P(x)$}. Infine anche al chi quadro sperimentale compete una distribuzione limite, di cui daremo qui l'espressione senza dimostrarle: {$ P(x,\nu) = \frac {x^{\nu/2-1}\, e^{-x/2}} {2^{\nu/2}\, \Gamma(\nu/2)}, $} dove {$\Gamma(n)$} rappresenta la funzione gamma di Gauss, che assume il valore {$(n-1)!$} per {$n$} interi e interpola il fattoriale per valori reali. La funzione {$P(\chi^2,\nu)$} rappresenta la probabilità differenziale ({$\mbox{pdf}$}) di trovare il valore {$\chi^2$} (non ridotto!) con {$\nu$} gradi di libertà ed è forse di maggior utilità la sua distribuzione cumulativa ({$\mbox{cdf}$}), definita da: {$ C(x,\nu) = \int_0^x P(z,\nu) dz, $} che fornisce la probabilità di ottenere un valore di {$\chi^2$} inferiore ad {$x$} con {$\nu$} gradi di libertà, oppure {$1-C(x,\nu)$}, che fornisce la probabilità di ottenerne uno superiore ad {$x$}. In matlab la funzione gamma si ottiene con
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