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Calcoliamo con un modello interamente meccanico la pressione media {$p$} esercitata da un gas ideale sulla parete del suo contenitore di volume {$V$}. Dal confronto con la legge dei gas appena vista ricaveremo il significato meccanico della temperatura.
Come si è già detto occorre calcolare il modulo della forza media {$\langle F \rangle$} esercitata da un numero enorme di urti sulla parete (ogni mole di gas contiene un numero di Avogadro {${\cal N}_A=6\cdot 10^{23}$} di molecole) per poi dividerla per l'area {$A$} della parete,
{$$p=\langle F\rangle/A$$}.
Supponiamo inizialmente per semplicità che le molecole di massa {$m$} viaggino tutte alla stessa velocità {$v_x$} nella stessa direzione {$\hat x$} come in Fig. 1.
Ciascun urto fornisce un impulso {$\delta p= 2 m v_x$}, pari alla variazione della quantità di moto della molecola che urta elasticamente contro la parete. Siccome vogliamo valori medi e non valori istantanei delle singole molecole è inutile stimare la durata temporale {$\delta t$} di ciescun urto, che servirebbe a determinare la forza impulsiva istantanea {$F=\delta p/\delta t$}. È invece molto più istruttivo
considerare la somma degli impulsi di tutti gli urti che avvengono in un tempo più lungo {$\Delta t$}.
Nel tempo {$\Delta t$} arriveranno ad urtare con la parete destra tutte le molecole contenute nel volume evidenziato in azzurro di Fig. 1, dato dall'area {$A$} per la lunghezza {$v_x\Delta t$} (quelle a sinistra di questo volume non fanno in tempo ad arrvare alla parete).
Con {$n$} moli di gas il recipiente contiene {$N= n {\cal N}_A$} molecole alla densità {$N/V$}. Di queste metà viaggeranno verso la parete di destra e metà verso sinistra, quindi il numero delle molecole che urtano a destra è il prodotto di metà della densità per il volume azzurro {$\frac 1 2 \frac N V A v_x \Delta t$}. L'impulso totale è {$\delta p$} per il numero di urti
{$$\Delta P = \underbrace{\frac 1 2 \frac N V A v_x \Delta t}_{\mbox{numero di urti }} 2 m v_x = \frac N {V} A \Delta t\, m v_x^2$$}
Per ottenere la pressione media basta dividere per il tempo in cui avvengono questi urti e per l'area, ottenendo
{$$ p = \frac 1 A \frac {\Delta P}{\Delta t} = \frac N V m v_x^2 $$}
Siamo ora in grado di tener conto del fatto che le molecole viaggiano con velocità leggermente diverse e distribuite nelle tre direzioni dello spazio. Per tener conto della differenza basta sostituire il quadrato {$ v_x^2$} con il suo valor medio {$\langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle$} (le tre direzioni sono ovviamente equivalenti tra loro). Si ha quindi che
{$$\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2+v_y^2+v_z^2\rangle = 3 \langle v_x^2\rangle$$}
ossia
{$$p = \frac N V 2 \frac 1 2 \frac {m \langle v^2\rangle} 3 = \frac 2 3 \frac N V \langle E_k\rangle$$}
dove si può riconoscere l'energia cinetica media {$\langle E_k\rangle$} di una molecola. Il primo e l'ultimo membro possono essere moltiplicati per il volume per dare
{$$pV = \frac 2 3 n{\cal N}_A \langle E_k\rangle$$}
che può essere confrontata con la legge dei gas {$pV = nRT$}, per dimostrare l'equivalenza
{$$ T = \frac 2 3 \frac {{\cal N}_A} R \langle E_k\rangle$$}
La costante {$k_B = R/{\cal N}_A=1.38\cdot10^{-23}$} J/K è detta costante di Boltzmann. Dall'equazione precedente risulta immediatamente che l'energia cinetica media delle molecole vale {$\langle E_k\rangle = 3 k_B T /2$}. Ne segue che l'energia cinetica media di una mole di questo gas vale {$3 R T/2$}.
Questo è forse l'esempio più semplice di energia interna di un sistema termodinamico: un gas composto di atomi o molecole contiene l'energia cinetica media dei suoi costituenti ed essa dipende dalla temperatura.
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