Bernoulli

Il moto del fluido è caratterizzato da una velocità media {$\langle v\rangle$}, (detta anche di deriva). È la velocità della corrente, nell'acqua, o del vento, nell'aria. Le particelle atomiche si muovono costantemente in ogni direzione, ma in condizioni statiche la loro velocità media {$\langle v\rangle=0$} è nulla.

Nella figura invece consideriamo il caso in cui la velocità media è {$v>0$} (per semplicità nel seguito trascuriamo il simbolo {$\langle \,\rangle$}). Vogliamo valutare la quantità di fluido di densità {$\rho$} che passa attraverso il tubo di sezione {$A$} nell'unità di tempo. Perciò consideriamo che in un intervallo di tempo {$dt$} passa un volume pari al cilindro di base {$A$} e altezza pari allo spazio percorso dal fluido {$ds=vdt$}

{$$dV = Avdt$$}

e quindi una massa pari a

{$$(1)\quad dm = \rho Avdt$$}

La Fig. 2 mostra un tubo di sezione variabile, {$A$} in ingresso (dove la velocità e la densità del fluido vagono rispettivamente {$v,\rho$}) ed {$A^\prime$} in uscita (dove le stesse valgono {$v^\prime, \rho^\prime$}). Se il fluido è in condizioni stazionarie e non ci sono serbatoi vuote da riempire lungo il percorso, tutto il fluido che entra deve uscire. Questa è detta continuità del fluido. Imporre la continuità significa richiedere che la massa di fluido in ingresso, {$dm$}, sia uguale a quella in uscita, {$dm^\prime$}, ossia che

{$$\rho A v dt = \rho^\prime A^\prime v^\prime dt$$}

Dividento ambo i membri per {$dt$} si ottiene che la quantità {$P_m=\rho A v$}, chiamata portata in massa, è costante per qualunque sezione della condotta. Se poi si tratta di un liquido la cui densità è costante, l'equazione di continuità diventerà

{$$P=Av=\mbox{costante}$$}

in cui {$P$} è la portata volumica.

La costanza della portata implica che la velocità aumenta dove la sezione diminuisce. Ad esempio un fiume scorre più veloce dove è più stretto.

Figura 1. Fluido che scorre in un tubo cilindrico.

Figura 2. La massa che entra è pari alla massa che esce.

Sempre facendo riferimento alla Fig, 2 immaginiamo che l'uscita sia più in alto dell'ingresso (sia {$h, h^\prime$} la quota nei due punti). Si può quindi imporre un bilancio energetico. L'energia dell'acqua che passa nel tubo deve restare costante in condizioni stazionarie.

Ci sono tre contributi all'energia di una massa {$dm$} data dall'Eq. (1) in transito attraverso la condotta

• il lavoro compiuto su di essa, {$F\,ds=pA\, vdt$}
• la sua energia cinetica media, {$\frac 1 2 dm\, v^2 =\frac 1 2 \rho Avdt \, v^2$}
• la sua energia potenziale gravitazionale, {$dm\, g h =\rho Avdt\,gh$}

Dobbiamo richiedere che questi tre contribuiti per l'acqua che entra nell'intervallo {$dt$} siano uguali a quelli per l'acqua che esce nello stesso intervallo. Limitiamoci per semplicità ad un liquido, per il quale {$\rho=\rho^\prime$}. Si può dividere ovunque per {$dt$} e per la portata in volume {$P=Av= A^\prime v^\prime$} per ottenere

{$$p+ \frac 1 2 \rho v^2 + \rho g h = p^\prime + \frac 1 2 \rho v^{\prime 2} + \rho g h^\prime$$}

Questa espressione rappresenta il Teorema di Bernoulli per un liquido.

Esempi semplici.

Consideriamo nuovamente il fiume che, senza cambiare di quota ({$h=h^\prime$}), passa da un punto di sezione minore a velocità maggiore ad uno di sezione maggiore e velocità minore

{$$ A<A^\prime\quad v>v^\prime$$}

si avrà che

{$$p+ \frac 1 2 \rho v^2 = p^\prime + \frac 1 2 \rho v^{\prime 2}$$}

Il teorema di Bernoulli implica che la pressione dell'acqua dovrà essere più elevata là dove la velocità è minore, ossia dove la sezione è maggiore: {$p^\prime>p$}.

Un esempio simile si ottiene considerando il vento che soffia con velocità di deriva elevata sopra un tetto. Sotto il tetto, in ambiente chiuso, non c'è velocità di deriva e a parità di densità la pressione sarà maggiore, determinando una forza netta sul tetto verso l'alto. Questa è la ragione per cui gli uragani possono scoperchiare le case.

Legge di Stevino

Consideriamo infine l'acqua di un lago, di una piscina o del mare in condizioni stazionarie, {$v=0$}. Il teorema di Bernoulli impone che {$p + \rho gh = \mbox{costante} $}, ossia che la differenza di pressione rispetto alla superficie aumenti con la profondità {$h$} in base a

{$$p-p_0 = \rho g h$$}

Utilizzando la densità dell'acqua {$\rho = 1$} kg/l {$ =10^3$} kg/m³ si ottiene che la pressione aumenta di circa 1 atmosfera ogni 10 m di profondità (ovvero che un barometro ad acqua richiederebbe una colonnina alta più di 10 m).