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Per mezzo di misure ripetute ad ogni angolo si sono ottenuti due set di dati:
- il primo vettore contiene {$V_l$}, la tensione misurata con il luxmetro, e proporzionale all'intensità luminosa {$I$}, in lux; supponiamo che si sia già incluso il fattore di scala , in modo da avere 1 V = 1 lux, cosicchè {$I=V_l$};
- il secondo contiene {$V_R$}, la tensione misurata in V ai capi della fotoresistenza, alimentata con il partitore mostrato qui a fianco.
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Si suppone che l'apparecchiatura, nella misura con il luxmetro, abbia fatto compiere un giro di 360 gradi all'analizzatore e che, senza muovere quest'ultimo, si sia effettuata una seconda misura sugli stessi passi con la fotoresistenza. Ossia si suppone che le condizioni fisiche nella prima e nella seconda misura siano rimaste identiche.
L'intensità misurata da in funzione dell'angolo sarà data dalla legge di Malus:
{$ I(\theta) = I_0 [\cos^2(\theta+\phi_l)+k]$}
dove {$k=I_b/I_0$} rappresenta il contributo di buio e {$\phi_l$} la fase iniziale.
Viceversa la fotoresistenza {$R(I)$} si ricava dal circuito del partitore come
{$R(I)=\frac{V_R R_0}{V_0-V_R} = R_m \left(\frac I {I_m}\right)^{-\beta}$}
dove il terzo termine rappresenta l'andamento di {$R(I)$} in base al data sheet della fotoresistenza che mostra un comportamento lineare in scala doppio-logaritmica, ossia una legge a potenza con esponente negativo. Conviene scegliere {$R_m$} pari al valore minimo, che si ottiene in corrispondenza all'intensità massima {$R_m=R(I_m)$}, con {$I_m=I_0(1+k)$} in base alla legge di Malus.
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Dal circuito si ricava anche che
{$V_R= \frac {V_0} {1+\frac {R_0} {R_m} \left( \frac 1 {1+k} [\cos^2(\theta+\phi_R) + k] \right)^\beta } $}
dove si è ammesso che la fase iniziale {$\phi_R$} possa essere leggermente differente da quella della misura sul luxmetro.
La prima relazione in alto, la legge di Malus, può essere utilizzata per il best fit dei dati del luxmetro (parametri liberi {$I_0, \phi_l, k$}), l'ultima per il best fit dei dati della fotoresistenza (parametri liberi {$ V_0, R_0/R_m, \phi_R, \beta $}). Questa ottimizzazione si può anche ottenere in un unico fit, globale, nel quale si minimizza la somma degli scarti normalizzati di tutte e due le serie di dati. Se si sono prese misure per N angoli distinti i tratterà di un fit a nì-7 parametri, con un numero di gradi di libertà pari a 2N-n.
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Dati di tensione ai capi della fotoresistenza (in alto) e in uscita dal luxmetro (in basso). Le curve continue sono il best fit delle due leggi ottenuto con fminuit.
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Con i valori dei parametri restituiti da fminuit e con i loro errori si possono confrontare direttamente le due serie di dati, {$I=V_l$} e i dati che si ottengono trasformando le tensioni misurate ai capi della fotoresistenza con
{$I=I_0(1+k)\left( \frac{R_0}{R_m} \frac{V_R}{V_0-V_R} \right)^{-1/\beta}$}
Entrambe le serie di dati dovrebbero avere come curva ottimizzata la legge di Malus, con i parametri ottenuti del fit.
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Intensità luminosa misurata con il luxmetro (cerchi rossi), e con la fotoresistenza calibrata (quadrati blu), assieme al fit di calibrazione, al variare dell'angolo tra polarizzatore ed analizzatore.
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Infine la calibrazione della fotoresistenza è fornita dalla curva
{$R(I)=R_0 \frac{1}{R_0/R_m}\left( \frac {I} {I_0(1+k)}\right)^{-\beta} $}
dove {$R_0/R_m$} è un parametro del fit, mentre {$R_0$} sarà stata misurata direttamente. Questa curva deve rappresentare il best fit dei dati della fotoresistenza {$R$}, ottenuti a partire da {$V_R$} e riportati in funzione delle intensità, ottenute a partire da {$V_l$}. Si possono riportare direttamente le coppie di valori ottenuti per lo stesso angolo, a patto che la differenza tra le fasi {$\phi_R$} e {$\phi_l$} sia trascurabile.
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Curva di calibrazione della fotoresistenza
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