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Potenza

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Immaginiamo una sorgente puntiforme O di onde. In essa si generano onde meccaniche con una forza, ovvero compiendo un lavoro, oppure onde elettromagnetiche con un generatore che impiega una certa energia. In entrambi i casi una ben precisa potenza {$P$} viene trasferita dalla sorgente alle onde generate. Questa energia viaggia con l'onda e giunge ad una certa distanza da essa quando il primo fronte d'onda sferico raggiunge quella posizione, ossia l'energia si propaga con la velocità di fase, {$c$}.

Calcoliamo l'energia che fluisce in un secondo attraverso una sfera {$S$} di raggio {$r$}, centrata in O. Dovrà necessariamente essere tutta l'energia emessa in un secondo dalla sorgente, ossia {$P\Delta t$} con {$\Delta t=1$} s. Chiameremo intensità {$I(r)$} la potenza per unità di superficie attraverso questa sfera. Si ha

{$$I(r)=\frac P {4\pi r^2}$$}

ossia l'intensità di un'onda sferica deve dipendere dalla distanza dalla sorgente come {$r^{-2}$}, per conservare l'energia.

Che relazione c'è tra questa intensità e l'ampiezza dell'onda? La relazione precisa dipende da come si definisce l'onda. Ad esempio la stessa onda sonora può essere definita attraverso la oscillazione di pressione o di densità dell'aria, o in altri modi ancora. Analogamente l'onda elettromagnetica può essere descritta dall'oscillazione del campo elettrico o del campo magnetico. Ciascuna ampiezze avrà unità di misura differenti e quindi una diversa relazione con l'intensità, che è sempre una potenza per unità di superficie. Ma tutte le ampiezze soddisfano a questa relazione di proporzionalità

{$$A(r) \propto \sqrt{I(r)} \quad I(r) \propto A(r)^2$$}

da cui si deriva che

{$$A(r) \propto \frac 1 r$$}

Consideriamo ad esempio il caso del suono. Una superficie S del fronte di un'onda sonora che si sposta nel tempo dt di dl con velocità di fase c=dl/dt. Considerando il punto x dell'onda fisso sul fronte d'onda d'arrivo, esso oscilla con ampiezza l0 . La posizione e la velocità con cui oscilla sono quindi {$ l(x,t) = l_0 \cos(\omega t - k x)$} {$ v(x,t) = \omega l_0 \sin(\omega t - k x)$} L'energia cinetica del volumetto tra i due fronti d'onda distanti dl, supponendo una densità ρ0 ;, è {$ dE_k= \frac 1 2 dm v^2 = \frac 1 2 \,\, \rho_0 S dl \,\, \omega^2 l_0^2 \sin^2(\omega t - k x)$} dove la massa dello straterello d'aria {$dm$} è data dal prodotto della densità {$\rho_0$} per il volume {$Sdl$} dello straterello.

Il fronte d'onda di riferimento, lo stesso fronte al tempo dt, avanzato di dl. L'onda fa oscillare questo secondo fronte con ampiezza l0.

L'energia potenziale del volumetto tra i due fronti d'onda, supponendo una costante elastica dK=ω²dm, è

{$ dE_p= \frac 1 2 dK l^2 = \frac 1 2 \,\, \rho_0 S dl \,\, \omega^2 l_0^2 \cos^2(\omega t - k x)$}

Ricordando che l'onda si muove con velocità di fase {$dl/dt = c$}, come si è detto prima, si ottiene che la potenza trasmessa è

{$ P = \frac {dE_k} {dt} + \frac {dE_p} {dt} = \frac 1 2 \rho_0 S c \omega^2 l_0^2 $}

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