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Questo concetto è abbastanza intuitivo. Vogliamo sapere quanto spazio abbiamo percorso in un determinato tempo. Se teniamo l'intervallo di tempo costante, più andiamo veloce, più spazio percorriamo in quel tempo.
Potete immaginare di essere in treno e contare quanti pali della luce, equispaziati, vedete passare in un minuto: più ne contate (più spazio avete percorso, immaginate che i pali distino 100 m e ne avete contati 10), più veloce va il treno . Se dividete lo spazio percorso Δy per l'intervallo di tempo Δt ottenete la velocità media {$\overline v$} in quell'intervallo:
{$$ \overline{v} = \frac {\Delta y} {\Delta t} $$}
nel caso del treno, 60 km/h. Attenzione, la velocità si calcola come il rapporto tra uno spazio percorso, cioè la distanza tra due punti, e l'intervallo di tempo in cui lo spazio è stato percorso, che a sua volta è la differenza tra due tempi. È il rapporto tra due intervalli, uno spaziale ed uno temporale. Spazio percorso (l'intervallo {$\Delta y$}) diviso tempo impiegato (l'intervallo {$\Delta t$}).
La chiamiamo velocità media perchè se il treno rallenta durante un minuto la velocità è maggiore all'inizio del minuto (avremo contato più pali nei primi 30 secondi) e minore alla fine (meno pali negli ultimi 30 secondi), eppure noi otterremo lo stesso un'unico valore medio col nostro conto.
Come si fa a misurare più accuratamente la velocità, per sapere anche se sta variando?
Il concetto di velocità istantanea .
Occorre ovviamente poter fare lo stesso conto con intervalli più brevi, ad esempio dieci secondi invece che un minuto. Naturalmente occorre anche una misura di spazio più precisa, perchè anche gli spazi percorsi {$\Delta y$} diventano più brevi. Ci si renderà così conto che se il treno rallenta le nuove velocità medie, sei nel primo minuto, stanno diminuendo.
Disponendo di strumenti abbastanza accurati si può pensare di ottenere un numero ancor maggiore di misure su intervalli {$\Delta t$} sempre più piccoli. Idealmente si può spingere questo procedimento al limite e realizzare quello che i matematici (ma per primi Newton e Leibnitz) hanno chiamato la derivata:
{$$ v = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta t} = \frac{dy}{dt} $$}
Abbiamo scritto il limite del rapporto incrementale della funzione. In questo caso l'operazione indica la velocità istantanea. Il terzo membro è la notazione di Leibniz, una scrittura un po' lunga per una sola operazione, ma utile per ricordare che la derivata parte dal rapporto di due differenze, {$dy$} e {$dt$}.
La derivata richiede poi anche il limite per {$dt$} che tende a zero. In un laboratorio di fisica non occorre fare il limite. Basta che il rapporto sia calcolato su un intervallo di tempo così breve che se lo si riducesse ancora il risultato non cambierebbe. Ossia, la velocità media coincide con la velocità istantanea se la prima non cambia quando si accorcia l'intervallo {$\Delta t$} utilizzato.
La definizione concettuale coincide con quella del corso di analisi matematica anche in quel corso la variabile indipendente è forse stata indicata più spesso come {$x$} e la funzione come {$y$}:
{$$y=f(x)$$}
(in fisica, viceversa, variabile dipendente e variabili indipendenti sono rappresentate da simboli che richiamano il nome della grandezza fisica, sono i più vari ed occorre prestare attenzione al contesto). In analisi l'operazione della derivata sarebbe stata indicata come {$f'(x)$}, oppure {$Df$}, oppure ancora {$y'$}. Ma se la funzione è la stessa (ad esempio potenza con esponente 2) la derivata è la medesima. Ad esempio in analisi avete imparato che
{$$y=kx^2 \qquad y'=2kx$$}
Quindi se {$t$} il tempo che trascorre e la legge oraria è {$y(t)=at^2/2$}, con {$a$} costante, la stessa operazione di derivata applicata a {$y(t)$} (basta sostituire {$v$} a {$y^\prime$}, {$t$} a {$x$} e {$a/2$} a {$k$}) fornisce la velocità istantanea {$v=2at/2=at$},
Riassumendo, se avete imparato a calcolare la derivata di
{$$ f(x)=ax^m $$}
{$$ f(x)=b\,\sin(ax+c) $$}
{$$ f(x)=a\,\exp(-x^2/b) $$}
con una semplice trascrizione sapete già ottenere le velocità istantanee di tutti le seguenti leggi orarie corrispondenti (quando mai le incontrerete)
{$$ y(t)=at^m $$}
{$$ y(t)=b\,\sin(at+c) $$}
{$$ y(t)=a\,\exp(-t^2/b) $$}
ossia, rispettivamente:
{$$ v(t)=m\,at^{m-1} $$}
{$$ v(t)=ba\,\cos(at+c)$$}
{$$ v(t)=-\frac {2at} b \, \exp(-t^2/b)$$}
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