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CentroDiMassa

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Centro di massa

Finora i corpi materiali sono stati considerati puntiformi. La descrizione è naturale se si guarda da lontano un corpo, ossia se la distanza è molto maggiore delle sue dimensioni. Ad esempio un a massa lanciata in aria descrive una traiettoria parabolica predetta dalla seconda legge con l'ipotesi che agisca la sola forza di gravità, e cioè un'accelerazione costante {$\mathbf g$} diretta verso il basso.

L'osservazione della clavetta si una ginnasta artistica mostra che il moto può essere più complicato. Quando la ginnasta lancia la clavetta per farle descrivere un giro mentre sale e riscende, fino a giungere con il manico di nuovo nel palmo dell'altra mano, si intuisce che c'è un punto della clavetta, fisso rispetto ai suoi estremi, che descrive esattamente il moto parabolico, già ricavato nel caso di massa puntiforme. Mostreremo che questo punto è il centro di massa, che per un sistema di masse puntiformi {$m_i$}, di massa totale {$\sum_i m_i = M$} è dato dalla seguente equazione {$$\begin{equation}\mathbf r_{cm} = \sum_i \frac {m_i\mathbf r_i} M\end{equation}$$} Si tratta di una sorta di media pesata delle posizioni delle diverse masse, dove il peso è dato dalla frazione di ciascuna massa {$m_i/M$} rispetto alla massa torale. Notiamo che la scelta di quali masse appartengono al sistema e quali no è del tutto arbitraria, ma va mantenuta coerentemente. Ad esempio se osservo una palla che rimbalza contro una sbarra incardinata su un tavolo, posso definire il sistema palla-sbarra (e il vincolo con il tavolo sarà una forza esterna), oppure il sistema palla-sbarra-tavolo (allora il vincolo sarà una forza interna, ma l'attrito con il pavimento sarà una forza esterna). Se non agiscono forze esterne sul sistema parleremo di sistema isolato. Il vettore {$\mathbf r_{cm}$} indica un punto di coordinate {$$\begin{align*} x_{cm} &= \sum_i \frac {m_i x_i} M\\ y_{cm} &= \sum_i \frac {m_i y_i} M\\ z_{cm} &= \sum_i \frac {m_i z_i} M \end{align*}$$} Per dimostrare che questo punto si muove come si è detto, calcoliamone l'accelerazione {$$\begin{equation}\mathbf a_{cm} = \frac {d^2} {dt^2} \mathbf r_{cm} = \frac 1 M \sum_i m_i \frac {d^2} {dt^2} \mathbf r_i = \frac 1 M \sum_i \mathbf F_{Ri}\end{equation}$$} dove abbiamo sfruttato la seconda legge di Newton per ciascuna massa, definendo {$\mathbf F_{Ri}$} la risultante delle forze che agiscono sulla massa {$i$}-esima. Conviene scomporre questa somma in due contributi, quelli dovuti alle interazioni con le altre particelle del sistema (ad esempio {$\mathbf F_{ji}$}, la forza che la massa {$j$} esercita sulla massa {$i$}) e quelli dovuti alle forze esterne agenti su {$i$}, di cui consideriamo complessivamente la risultante {$\mathbf F_{ei}$}. Sostuiamo questi due contributi nell'Eq. 2 e moltiplichiamo il primo e l'ultimo membro per {$M$} per ottienere {$$\begin{equation} M \mathbf a_{cm} = \sum_i \mathbf F_{e_i}\end{equation}$$}

Fig. 1 Il punto nero rappresenta il centro di massa della clavetta, e descrive la traiettoria parabolica tratteggiata, mentre la clavetta gli ruota attorno. Disegno, copyright Haliday-Resnick, fornito ai docenti da ed. Zanichelli Fig. 2 Per la III legge della dinamica la forza che la massa 1 esercita sulla 2, {$\mathbf F_{12}$}, è uguale ed opposta alla forza che la massa 2 esercita sulla 1, {$\mathbf F_{21}$}.

In questo passaggio abbiamo rimosso il termine {$\sum_i \sum_{j\ne i} \mathbf F_{ji}=0$}, nullo perchè le interazioni obbediscono al III principio della dinamica, ossia sono uguali ed opposte a due a due. La doppia sommatoria si annulla perchè per ogni forza {$\mathbf F_{ji}$} essa contiene anche la forza {$\mathbf F_{ij}=-\mathbf F_{ji}$} opposta, che la annulla.

L'equazione 2 ha una forma molto semplice. Se la pensiamo come la II legge delle dinamica per un punto materiale esprime il fatto che l'accelerazione del centro di massa si ricava immaginando che tutte la massa sia concentrata in quel punto, soggetto solamente alla risultante delle forze esterne agenti sul sistema. Nel caso della clavetta si tratta della forza di gravità totale {$M\mathbf g$}, che predice per l'appunto una traiettoria parabolica per il centro di massa.

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Quantità di moto

Consideriamo corpi la cui massa non cambia nel tempo. Ignoriamo quindi per il momento i motori a reazione (razzi o jet) che si accelerano e si mantengono in moto contro le forze di attrito eiettando masse di gas dalla combustione del propellente ad alta velocità nel verso opposto al moto. Se la massa {$m$} è costante il primo membro della II legge {$M\mathbf a$} si può scrivere così

{$$ m \mathbf a = \frac {d } {dt}m\mathbf v$$}

ossia il prodotto massa per accelerazione è pari alla derivata della grandezza {$\mathbf p = m\mathbf v$}, che chiameremo quantità di moto (in inglese linear momentum, ossia momento lineare).Questa grandezza caratterizza il moto più precisamente della sola velocità. Infatti gli effetti del moto, visibili ad esempio quando un oggetto in movimento collide con un secondo oggetto fermo, sono identici per un uggetto di massa {$m$} che incide con velocità {$\mathbf v$} e per uno di massa {$2m$} che incide con velocità {$\mathbf v/2$}. Dipendono cioè dal prodotto delle due grandezze, ossia dal momento lineare.

La seconda legge di Newton potrebbe quindi esprimersi attraverso la derivata temporale della quantità di moto, {$\frac {d\mathbf p} {dt}$}. Newton formulò originariamente la sua legge in questi termini. Infatti, se si estende la legge ai casi in cui la massa varia, le due forme non sono più equivalenti: una è corretta è e l'altra no. Gli esperimenti indicano che è corretta la forma originariamente scelta da Newton, ossia

{$$\begin{equation} \frac {d\mathbf p} {dt} = \mathbf F_R \end{equation}$$}

Esploriamo questa formulazione nel caso del centro di massa. Seguendo lo stesso procedimento si vede che {$M \mathbf a_{cm} = \frac {d }{dt}M\mathbf v_{cm}$} dove, dalla definizione del centro di massa, Eq. 1, scende che

{$$\mathbf v_{cm} = \sum_i \frac {m_i\mathbf v_i}M$$}

Se ora moltiplichiamo ambi i membri per {$M$} risulta che la quantità di moto totale, ossia la somma dei momenti lineari delle signole masse, {$\mathbf P = \sum_i p_i$}, è

{$$\begin{equation} \mathbf P = M \mathbf v_{cm}\end{equation} $$}

un risultato tanto importante quanto semplice. Infine la II legge della dinamica per il moto del centro di massa si può esprimere come

{$$\begin{equation} \frac {d\mathbf P}{dt } = \sum_i \mathbf F_{e_i} \end{equation} $$}

da cui discende che, se la risultante delle forze esterne al sistema è nulla, la quantità di moto totale non cambia nel tempo, ossia si conserva.

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Centro di massa di un tetraedro

Si consideri il tetraedro di lato {$L$} appoggiato sul piano x,y, (z=0) in modo che la quarta massa giaccia lungo l'asse z, a quota {$h$}. L'asse z risulta essere un asse di simmetria del tetraedro el e coordinate {$x_{cm}=y_{cm}$} sono entrambe nulle. la coordinata z del centro di massa è

{$$ z_{cm} = \frac {mh} {4m} $$}

La quota cercata è {$h=\sqrt{L^2-D^2}$}, dove {$D$} è la distanza delle tre masse di base dall'origine. L'angolo tra {$D$} e i lati {$L$} del triangolo equilatero di base vale {$\theta=\pi/6$}. Quindi re la distanza vale {$D= L/2\cos\theta=L/\sqrt 3$} e, di conseguenza

{$$z_{cm} = \frac L 4 \sqrt{\frac 2 3}$$}

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