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AppendiceA< Meccanica.Appendici | Indice | B: Sistema di riferimento e coordinate > Grandezze fisicheMisura Una grandezza fisica si misura. La fisica esprime le sue leggi tramite equazioni matematiche, ma l'operazione di misura introduce una condizione aggiuntiva, la dimensionalità. Per illustrarla studiamo il processo di misura. Esso consiste in una serie di operazioni
Riassumendo il primo esempio, dopo la misura della larghezza della stanza avremo ottenuto il risultato {$$l = 2,25\,\text{m}$$} con un residuo più piccolo di un centimetro, che abbiamo deciso di trascurare. Notazione e arrotondamento La notazione anglosassone prevede il punto al posto della virgola per i decimali: {$l = 2.25\,\text{m}$}. Per convenzione se si scrivono due cifre decimali, come nell'esempio, si sottointende che l'accuratezza dello strumento di misura non consentiva di misurare più finemente. Di conseguenza in aritmentica {$$1.3/7.4 = 0.75675675675676...$$} e i puntini indicano che la rappresentazione decimale del numero reale dovrebbe continuare all'infinito. I due fattori, 1.3 e 1/7.4 hanno entrambi due cifre significative (due cifre note riportate). In fisica si arrotonda alla prima cifra significativa, ossia la divisione non può avere più cifre significative dei suoi fattori. Nel risolvere un esercizio occorre fare attenzione a questo concetto. Riportare troppe cifre decimali è un errore. L'approssimazione con cui riportare il risultato è {$$1.3/7.4 = 0.76$$} perchè il numero reale è più prossimo a 0.76 che a 0.75. La regola è espressa da questo esempio: 30, 31, 32, 33, 34 si approssimano a 30 e 35, 36, 37 38, 39 si approssimano a 40. Quindi 0.7567... si approssima a 0.76. La trattazione precisa della precisione di una misura che deriva da calcoli numerici è un soggetto un po' più approfondito di quanto dicutiamo ora. Per il momento ci limiteremo a considerare un numero di cifre significative pari a quello della grandezza meno precisa nel calcolo. Notazione esponenziale Per evitare di scrivere numeri ingombranti, con molti zeri inutili, si ricorre alla notazione esponenziale, iillustrata da questi due esempi {$$1250000000\ \text{km} = 1.25\:10^{9}\, \text{km}$$} e {$$0.00016\,\text{cm} = 1.6\:10^{-4}\, \text{cm}$$} Ovviamente l'esponente corrisponde al numero di posizioni che il punto deve scorrere verso sinistra (esponente positivo) o verso destra (esponente negativo) per ottenere il prefisso numerico della notazione esponenziale. Notare che tra il prefisso e la potenza di 10 c'è solo uno spazio, con la convenzione che sue numeri senza simboli intermedi vanno moltiplicati tra loro. Prefissi dell'unità di misura Elenchiamo i principali prefissi utilizzati e, nell'ultima colonna, come si applicano al caso del metro
Grandezze derivate In fisica si usano anche grandezze derivate, frutto della composizione dei grandezze semplici. Ad esempio i volumi si misurano facendo il prodotto di tre dimensioni spaziali (per un parallelepipedo rettangolo, larghezza per lunghezza per altezza). La grandezza volume si misura quindi in metri per metri per metri, ossia in m'^3^. Una grandezza fisica comune è la velocità, che misura il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Si misura in m/s. Occorre a volte definire operazioni meno intuitive, Ad esempio se si legge la temperatura con un vecchio termometro a mercurio, dall'altezza della colonnina di mercurio, la misura della temperatura corrisponde in realtà a una misura di lunghezza, accompagnata da una conversione. La lunghezza misurata si moltipolica per un fattore di conversione, da cm a gradi, che va a sua volta misurato una volta per tutte, per un dato termometro. Questo fattore sarà rappresentato da una grandezza fisica la cui unità di misura è gradi per cm. Unità fondamentali Il Sistema Internazionale di misura (SI, International System of Units) prevede alcune unità di misura fondamentali, dalle quali si possono derivare tutte quelle di interesse della fisica. Incominciamo ad introdurre le tre grandezze essenziali per la meccanica, tempo (secondo), lunghezza (metro), massa (kilogrammo). Le altre verranno definite man mano che saranno utilizzate. Tempo Lunghezza Massa Analisi dimensionale In fisica dsi possono confrontare e quindi uguagliare solo grandezze omogenee (con la stessa dimensione, ovvero con la stessa unità di misura: A = B implica che la dimensione (l'unità di misura) di A e di B sono le medesime. Entrambe si indicano con la grandezza in questione tra parentesi quadre, quindi {$$[A] = [B]$$} Quando si scrive una equazione fisica occorre controllare che il membro destro e sinistro abbiano la stessa dimensione. Immaginiamo di essere giunti alla conclusione che, con {$d = 3$} m, {$a=2$} m e {$b=5$} m valga la relazione {$d^3 = d(ab-a/b)$}. Prima ancora di effettuare i calcoli è facile verificare che deve esserci un errore di calcolo. Infatti {$a/b$} è un numero puro, mentre l'altro addendo a destra, {$ab$} si misura in m2. Le due grandezze non sono omogenee e non possono essere sommate. Se si sviluppa il membro destro in {$dab$} e {$-da/b$}, il primo ha la stessa dimensione del membro sinistro (è un volume), il secondo no. Questo è un segnale d'allarme, si è sicuramente commesso un errore nella derivazione della relazione. Regole dell'analisi dimensionale Conviene esprimere le grandezze con unità di misura omogenee. È vero che {$1\, \text{inch} = 2.56\:10^{-2}\text{m}$}, ma all'interno di un calcolo complesso è facile commettere errori se si mantengono diverse unità di misura per la stessa grandezza. Assumendo unità di misura coerenti (ad esempio tutte SI), Se in una legge fisica compaiono fattori corrispondenti a funzioni algebriche (esprimibili come potenze dei loro argomenti), occorre calcolarne la dimensione come l'equivalente potenza delle dimensioni degli argomenti. In questo modo si può stabilire la dimensione del fattore. Ad esempio il termine {$\sqrt{ab/c^5}$} ha dimensioni {$[a]^{1/2}[b]^{1/2} [c]^{-5/2}$} Se compaioni somme di numeri puri (adimensionale) ed un'espressione algebrica, occorre che l'espressione algebrica abbia la dimensione di un numero puro. Ad esempio {$1+ab/c^5$} è ammissibile solo se {$[a][b][c]^{-5}=1$}, ossia è anch'esso adimensionale. Se nella legge compaioni funzioni trascendenti occorre che il loro argomento sia a sua volta Si noti che solo rispettando queste leggi si garantisce che la medesima espressione matematica della legge sia valida indipedentemente dall'unità di misura scelta per ogni data grandezza. Si noti anche che un numero puro, adimensionale, deve avere lo stesso valore in ogni sistema di misura. Il numero di Avogadro rappresenta ad esempio un numero di oggetti (atomi o molecole). Non dipende dall'unità di lunghezza o di tempo o di massa. < Meccanica.Appendici | Indice | B: Sistema di riferimento e coordinate > |