• View
• Edit
• History
• Print

CoefficientiDiEinstein

< Effetto Stark? | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Regole di selezione ottiche? >

Emissione spontanea

Nell'ambito della meccanica quantistica non relativistica gli stati eccitati degli atomi sono autostati ed in quanto tali non dovrebbero decadere spontaneamente. In realtà vale l'elettrodinamica quantistica ed abbiamo visto che il vuoto fluttua, generando coppie virtuali di particelle e di fotoni, la cui durata è determinata dal principio di indeterminazione (più grande è l'energia della fluttuazione, più corta la sua durata).

Lo spettro di fluttuazioni quantistiche del vuoto si accoppia con l'atomo, come i normali campi elettromagnetici. Immaginiamo il sistema più semplice fatto di due livelli, uno ad energia {$\epsilon_a=0$} ed uno eccitato (nel senso di Schrödinger), ad energia {$\epsilon_b=\epsilon_a+\hbar\omega$} in una cavità dove i fotoni possono avere solo frequenza {$\omega=\frac{E_b-E_a} \hbar$}. Senza entrare nei dettagli della QED lo stato eccitato vero non sarà più un autostato e, in virtù del debole accoppiamento col vuoto quantistico, si potrà rappresentare con una miscela del tipo {$$ \alpha(t)\psi(a,n+1)+ \beta(t)\psi(b,n)$$} dove il primo argomento della funzione d'onda indica il livello dell'atomo e il secondo il numero di fotoni. I coefficienti {$\alpha(t),\beta(t)$} sono funzioni oscillanti, con {$\alpha(0)=0$} e {$\beta(0)=1$}, date le condizioni scelte (lo stato iniziale dell'atomo è quello eccitato).

Coefficienti di Einstein. Emissione stimolata di un fotone con decadimento da {$b$} ad {$a$} (probabilità {$B_{ba})$}), l'assorbimento stimolato da {$a$} a {$b$} (probabilità {$B_{ab})$}), e l'emissione spontanea.

Questo stato assomiglia a quello visto nella precessione di uno spin in campo magnetico e giustifica che un atomo preparato nello stato b, pur in assenza di radiazione elettromagnetica, oscilli tra lo stato eccitato e quello fondamentale. In questo caso lo stato eccitato decade dopo un certo tempo, ma poi riappare (quantum revival). Allo stesso modo lo stato preparato a {$t=0$} come fondamentale dà luogo con lo stesso periodo allo stato eccitato in una sequenza di oscillazioni, chiamate oscillazioni di Rabi. Se si rimuove la cavità lo stato eccitato può accoppiarsi con uno spettro {$\rho(\omega)$} continuo di fotoni: la sovrapposizione delle loro oscillazioni corrisponde ad un decadimento senza a revival (anaolgamente, lo stato fondamentale non dà mai luogo ad assorbimento spontaneo).

Equilibrio termodinamico

Einstein, che non poteva conoscere la teoria quantistica dei campi, postulò che la radiazione visibile fosse prodotta principalmente da un processo di emissione spontanea, caratterizzato da una probabilità di decadimento propria {$A=1/\tau$} (alla luce della discussione precedente la convoluzione dei fattori {$\beta(t)$} sarà proporzionale ad {$e^{-t/\tau}$}). Se non ci fosse radiazione la popolazione statistica dello stato eccitato b, {$N_b$}, obbedirebbe alla semplice equazione

{$$\frac {dN_b}{dt} = - A N_b$$}

e quindi si otterrebbe {$N_b(t)=N_b(0)\exp(-At)$}. Ma a temperatura finita la materia è in inevitabilmente in equilibrio con lo spettro di radiazione di corpo nero descritto da Planck: la radiazione elettromagnetica in eccesso rispetto al vuoto si accoppia anch'essa agli elettroni e li fa oscillare producendo l'assorbimento o l'emissione stimolata di un fotone. La probabilità di assorbimento o emissione sarà proporzionale a quanta energia può fornire la radiazione alla frequenza {$\omega$}, ossia alla sua densità spettrale (che significa per unità di frequenza),

{$$ \rho(\omega) = \frac \hbar {\pi^2 c^3} \frac {\omega^3}{e^{\hbar \omega/kT}-1} $$}

espressa in unità di J s m^-3. Includendo due coefficienti di proporzionalità, espressi in m³J^-1s^-2, la probabilità di assorbimento sarà {$B_{ab}\rho(\omega)$} e la probabilità di emissione stimolata sarà {$B_{ba}\rho(\omega)$}. Se si tiene in conto dei processi mostrati in figura si possono quindi scrivere le seguenti equazioni per le popolazioni dei due stati

{$$\begin{align*} \frac {dN_b}{dt} &= - A N_b +(N_a B_{ab}-N_b B_{ba})\rho(\omega)\\ \frac {dN_a}{dt} &= -\frac{dN_b}{dt}\end{align*}$$}

All'equilibrio i due tassi devono essere nulli. Imponendo l'uguaglianza a zero del secondo membro della prima equazione, con semplice algebra si ottinene che

{$$\begin{equation}\frac {N_a}{N_b} \frac \hbar {\pi^2 c^3} \frac {\omega^3}{e^{\hbar \omega/kT}-1}= \frac {B_{ba}}{B_{ab}} \frac \hbar {\pi^2 c^3} \frac {\omega^3}{e^{\hbar \omega/kT}-1}+ \frac A {B_{ab}}\end{equation}$$}

L'equazione deve valere a qualsiasi temperatura: facendo il bilancio dettagliato delle due popolazioni con il peso statistico si ottiene {$N_a/(N_b+N_a)=1/[\exp(-\hbar\omega/kT)+1]$} ed {$N_b/(N_b+N_a)=\exp(-\hbar\omega/kT)/[\exp(-\hbar\omega/kT)+1]$}, da cui {$N_a/N_b=\exp(\hbar\omega/kT)$}. Se si sostituisce questa relazione nell'equazione (1) si vede che

{$$\begin{align}{B_{ba}} &={B_{ab}}\equiv B\\ \frac A B &=\frac {\hbar \omega^3}{\pi^2 c^3} \end{align}$$}

Questo è un esempio delle relazioni di Einstein tra i coefficienti di emissione stimolata e spontanea. Se ne possono ottenere forme leggermente differenti a seconda di come si definisce la desnità di radiazione (per unità di frequenza, di numero d'onda, etc), e conseguentemente di come si definisce il coefficiente {$B$}. In questo caso semplificato abbiamo assunto che la riga atomica sia molto più stretta dello spettro di corpo nero {$\rho(\omega)$} e che i due livelli non siano degeneri (oppure che abbiano lo stesso grado di degenerazione). .

< Effetto Stark? | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Regole di selezione ottiche? >