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Consideriamo un esempio semplice, una sbarra omogenea lunga e sottile, di lunghezza {$l$}, incardinata all'estremo C. Consideriamola nella posizione in cui forma un angolo {$\theta$} con la verticale. In figura è rappresentato il diagramma di corpo libero, con il vincolo in C scomposto nelle sue componenti orizzontale, {$N_x$} e verticale, {$N_y$}, con l'asse verticale orientato verso il basso.
Le equazioni del moto sono
{$$\begin{align}
\frac {Ml^2} 3 \alpha &= - Mg \frac l 2 \sin\theta \\
Ma_y &= Mg-N_y\\
Ma_x &= N_x
\end{align}
$$}
dove si è usato il momento d'inerzia per l'asse {$z$} passante per C, ossia {${\cal I}_C= {\cal I}_{cm}+ Ml^2/4 = Ml^2/3$}, l'accelerazione angolare {$\alpha$} e le due componenti dell'accelerazione del centro di massa, {$a_x, a_y$}.
Il moto del pendolo è una rotazione attorno a C e per trovare l'equazione oraria dell'angolo {$\theta=\theta(t)$} basta la (1). Più sotto ne discutiamo l'approssimazione armonica, che produce una equazione differenziale, più difficile concettualmente, ma molto semplice dal punto di vista algebrico.
Le altre due equazioni, (2) e (3), forniscono l'andamento delle due componenti del vincolo, che possono esser ricavate geometricamente anche senza conoscere la legge oraria. Si tratta quindi di equazioni algebriche, ma i calcoli sono più lunghi. L'accelerazione del centro di massa, considerandone la componente tangenziale proporzionale ad {$\alpha$} e la componente centripeta, proporzionale al quadrato della velocità angolare {$\Omega$}, è {$a=\frac l 2 \sqrt{\alpha^2+\Omega^4}$} e dal disegno si ricava che
{$$\begin{align}
a_x &= \frac l 2 (\alpha\cos\theta + \Omega^2\sin\theta)\\
a_y &= \frac l 2 (\alpha\sin\theta -\Omega^2\cos\theta)
\end{align}
$$}
Sostituendo (4) e (5) in (2) e (3) si ottiengono le componenti del vincolo
{$$\begin{align}
N_x &= M\frac l 2 (\alpha\cos\theta + \Omega^2\sin\theta)\\
N_y &= M\left[g-\frac l 2 (\alpha\sin\theta -\Omega^2\cos\theta)\right]
\end{align}
$$}
che si possono ancora semplificare ricavando {$\alpha=\frac {3g}{2l}\sin\theta$} da (1).
Con la conservazione dell'energia anche {$\Omega^2$} può essere ricondotto al valore dell'angolo {$\theta_0$} da cui la sbarra viene rilasciata in quiete, {$\Omega^2= \frac{3g}{l}(\cos\theta-\cos\theta_0)$}, col seguente risultato
{$$\begin{align}
N_x &= \frac {3Mg} 2\sin\theta\left[\frac 3 2 \cos\theta -\cos\theta_0\right]\\
N_y &= - Mg \left[1 + \frac 3 2 (\cos^2\theta - \cos\theta\cos\theta_0) - \frac 3 4 \sin^2\theta\right]
\end{align}
$$}
Queste equazioni valgono per qualunque valore di {$\theta$} e {$\theta_0$}. Controlliamo ad esempio {$\theta_0=\pi/2$}, la sbarra parte da ferma in orizzontale e cade a valori di {$\theta<\pi/2$}.
Si vede facilmente che in partenza {$N_x=0$} e {$N_y=-Mg/4$} che riduce l'accelerazione iniziale del centro di massa, tutta lungo {$y$} e pari a {$3g/4$}. Anche per {$\theta=0$} si ottiene {$N_x=0$}, mentre {$N_y=-5Mg/2$} fornisce la forza centripeta {$3Mg/2$} della rotazione, malgrado la forza di gravità opposta. Infine per {$\theta=\theta_0=0$} si ha il caso statico, con {$N_y=Mg$}
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