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MotoCircolare

< Accelerazione parallela e perpendicolare alla direzione del moto? | Indice | Moto relativo? >

Cinematica del Moto Circolare

Immaginiamo un punto colorato sul copertone di una ruota di bicicletta, che sta girando attorno all'asse passante per il centro O, fisso.

Il punto si muove di moto circolare uniforme: il modulo della sua velocità è costante nel tempo, ma la direzione del vettore velocità cambia ad ogni istante.

La velocità è nella direzione tangente alla traiettoria circolare del punto. Infatti v è data da {$$ \frac {d \mathbf{r}}{dt} = \lim_{dt \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+dt)-\mathbf{r}(t)}{dt} $$} e quindi, come si vede in figura, v è parallelo al vettore dr che è nella direzione della tangente alla traiettoria nel punto. Ciò è mostrato dai due vettori neri, che rappresentano le posizioni del punto ad un istante precedente, (t+dt/2), e successivo, (t-dt/2), con dt finito per consentirne la visualizzazione. La loro differenza è il vettore nero dr che unisce le due frecce.

L'accelerazione è nella direzione radiale, diretta verso il centro della circonferenza (accelerazione centripeta). Infatti a è data da {$$ \frac {d \mathbf{v}}{dt} = \lim_{dt \to 0} \frac{\mathbf{v}(t+dt)-\mathbf{v}(t)}{dt} $$} e quindi, come si vede in figura, a è parallelo al vettore dv che è nella direzione radiale, con verso opposto ad r. Per questo si parla di accelerazione centripeta, che significa diretta verso il centro. Ciò è mostrato dai due vettori neri, che rappresentano le velocità del punto ad un istante precedente, (t+dt/2), e successivo, (t-dt/2), con dt finito per consentirne la visualizzazione. La loro differenza è il vettore nero dv che unisce le due velocità riportate ad una origine comune, appena sotto il centro della circonferenza.

Stabilite le direzioni dei vettori v, tangente alla circonferenza, e a, radiale, diretta verso il centro, calcoliamo ora i moduli dei vettori. Il modulo del vettore velocità, v, rappresenta la derivata rispetto al tempo dello spazio percorso lungo la circonferenza, l=Rθ (questo discende dalla definizione dell'angolo in radianti, che è proprio il rapporto tra l'arco di circonferenza l e il raggio R). Siccome la lunghezza del raggio R è costante, il risultato è

{$$\begin{equation} v= R \frac{d\theta}{dt} = R\omega \end{equation} $$}

Per calcolare il modulo dell'accelerazione centripeta basta considerare che, mentre r percorre la circonferenza, la punta del vettore velocità tangenziale percorre anch'esso una circonferenza, di raggio v, e spazza angoli θ uguali in tempi uguali. Ossia, in analogia con l'equazione precedente si può scrivere che il modulo dell'accelerazione centripeta a vale

{$$ a= v \frac {d\theta}{dt}=v\omega = R \omega^2 $$}

Approfondimento. Queste stesse relazioni possono essere ricavate in modo formale e più generale come segue. Consideriamo un moto qualunque nel piano (moto vario planare). Il vettore posizione è

{$$\begin{equation} {\mathbf r} = r \hat r \end{equation}$$}

La posizione varia nel tempo sia perché cambia la lunghezza di r (ciò ovviamente non avviene nel moto circolare), sia perchè cambia la direzione del versore radiale, che può ruotare attorno all'origine. La sua derivata, il vettore velocità istantanea, contiene quindi due termini

{$$ \begin{equation} {\mathbf v} = \frac {dr}{dt} \hat r + r \frac {d \hat r}{dt}\end{equation}$$}

Per calcolare la derivata del versore radiale occorre considerare che la punta della freccia del versore si muove lungo la circonferenza di raggio uno, ossia nella direzione del versore tangente, {$\hat \theta$} (da non confondere con l'angolo), in base alla relazione (1), ovvero

{$$ \frac {d\hat r}{dt} = 1\cdot \frac {d\theta}{dt} \hat \theta $$}

dove 1è il raggio e la derivate dell'angolo rispetto al tempo è la velocità angolare ω. Inserendo questa relazione nell'equazione (3) si ottiene

{$$ \begin{equation} {\mathbf v} = \frac {dr}{dt} \hat r + r \frac {d \theta}{dt}\hat \theta \end{equation}$$}

Notate ancora che, se il moto è circolare, {$ \frac {dr}{dt} =0$} e l'equazione (4) si riduce a v = Rω nella direzione tangente, risultato già visto sopra. Nel caso generale c'è però anche una componente radiale della velocità.

Si può poi calcolare l'accelerazione come derivata dell'equazione (4) che ha due fattori nel primo termine e tre nel secondo, quindi, con la regola di derivazione dei prodotti di funzioni, si devono ottenere cinque termini

{$$ \begin{equation} {\mathbf a} = \frac {d^2r}{dt^2} \hat r + \frac {dr}{dt} \frac{d \hat r} {dt}+ \frac {dr}{dt} \frac {d \theta}{dt}\hat \theta + r \frac {d ^2\theta}{dt^2}\hat \theta + r \frac{d\theta}{dt}\frac{d\hat \theta}{dt}\end{equation}$$}

L'ultimo termine contiene la derivata del versore tangente, che descrive anch'esso, con la sua punta, una circonferenza unitaria definita dallo stesso angolo al centro θ, essendo per definizione perpendicolare al versore radiale, e quindi rigidamente connesso con quest'ultimo. È quindi evidente che anche per questo moto si può scrivere, in analogia con la relazione sopra la (4)

{$$ \frac {d\hat \theta}{dt} = 1\cdot \frac {d\theta}{dt}(- \hat r)=-\omega\hat r $$}

dove il segno meno deriva dal fatto che, nel moto in verso antiorario dei versori radiale e tangenziale, l'incremento di quest'ultimo risulta antiparallelo alla direzione del raggio r. Sostituendo le due derivate dei versori nella (4) si ottiene infine

{$$ \begin{equation} {\mathbf a} = \left(\frac {d^2r}{dt^2} - r\omega^2\right) \hat r + \left(2\frac {dr}{dt} \omega+ r \frac {d \omega}{dt}\right)\hat \theta \end{equation}$$}

Infine riconosciamo che nel moto circolare il modulo del raggio è r=R, costante, quindi le sue derivate sono nulle, e nel moto circolare uniforme anche la derivata di ω è nulla. In definitiva scompare il termine tangenziale dell'accelerazione e il termine radiale si riduce al suo contributo negativo, Rω² in modulo. Questo è il risultato ottenuto prima con il semplice ragionamento geometrico.

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