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MnPEliche in generale. V. anche MnGe, our paper PHYSICAL REVIEW B 93, 174405 (2016) MnP ha un'elica a T=0, p=0 che, in prima approssimazione, è {$$\mathbf m_i = \mathbf m_0 (\hat a \cos \phi_i \pm \hat b \sin \phi_i)$$} Il segno {$\pm$} identifica la chiralità. Per una spirale incommensurata in sistema cubici di parametro {$a$} i versori sono {$\hat a = (1,0,0)$}, {$\hat b = (0,1,0)$}, e il vettor d'onda della spirale è {$ \mathbf k = (0,0, 2\pi\xi/a)$} e {$$\phi_i = \mathbf k \cdot (\mathbf r_i + \mathbf R_\mu + \mathbf R_{\text{ref}} )$$} Qui {$i$} indica il sito reticolare e {$\text{ ref}$} indica il sito di Mn in cui lo spin giace lungo {$\hat a$}. Per una elica incommensurata {$\mathbf k \cdot \mathbf R_\mu = \beta $}, variabile continua e risulta da identità trigonometriche che {$$\begin{equation}\mathbf B (\mathbf R_\mu,\beta) = B_0 (\hat \eta \cos\gamma\cos \beta + \hat \zeta \sin\gamma\sin\beta)\end{equation}$$} dove, definendo il tensore {$\boldsymbol{\cal D}_i = (3\hat r_i\hat r_i-1){r_i^{-3}}$}, le quantità {$$\begin{align} B_0\hat \eta \cos\gamma & = \frac {{\cal A}m_0} N\sum_i [\hat a \cos\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}}) \pm \hat b \sin\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}}) ] + \\ & \sum _i [\cos\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}})\, \boldsymbol{\cal D}_i \cdot \hat a \pm\sin\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}}) \, \boldsymbol{\cal D}_i \cdot \hat b]\\ B_0\hat \eta \sin\gamma & = \frac {{\cal A}m_0} N\sum_i [\pm \hat a \sin\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}}) \pm \hat b \cos\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}}) ] + \\ & \sum _i [\pm \sin\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}})\, \boldsymbol{\cal D}_i \cdot \hat a \pm\cos\mathbf k \cdot (\mathbf r_i-\mathbf R_{\text{ref}}) \,\boldsymbol{\cal D}_i \cdot \hat b]\\ \end{align}$$} non dipendono da {$\beta$} e le somme si possono valutare una volta per tutte con i soliti metodi (e.g. con il programma musa?) Conoscendo queste quantità lo spettro coincide con la distribuzione delle intensità di campo locale {$$p(B) = \int_0^{2\pi} \!\delta (B-|\mathbf B (\mathbf R_\mu,\beta) |)\,d\beta =\left|\frac {d(B-|\mathbf B (\mathbf R_\mu,\beta)|)}{d\beta}\right|_{B=B (\mathbf R_\mu,\beta)}^{-1}$$} Il modulo del campo al muone è {$|\mathbf B (\mathbf R_\mu,\beta) |=|B_0|\sqrt{\cos^2\gamma\cos^2\beta+\sin^2\gamma\sin^2\beta}=|B_0|\sqrt{\frac 1 2 \cos2\gamma\cos2\beta+1} $}. La sua derivata va valutata per i valori di {$\beta$} per cui {$B = |B_0|\sqrt{\cos^2\gamma\cos^2\beta+\sin^2\gamma\sin^2\beta}=|B_0|\sqrt{\frac 1 2 \cos2\gamma\cos2\beta+1}$}, ossia {$$\cos 2\beta = \frac {2(B^2-B_0^2)} {B_0^2\cos2\gamma}$$} In definitiva {$$\begin{align} p(B)&= 2\left| \frac {\sqrt{\frac 1 2 (\cos 2\gamma\cos 2\beta+1)}} {B_0\cos2\gamma \sin 2\beta} \right|\\ &= 2\sqrt{\frac {B^2-\frac 1 2 B_0^2} {B_0^4\cos^2 2 \gamma - 4(B^2-B_0^2)^2 } }\\ &=\sqrt{\frac {B^2-\frac1 2 B_0^2}{(B_2^2-B^2)(B^2-B^2_1)}}\\ &=\sqrt{\frac {b^2-\frac1 2 }{(b_2^2-b^2)(b^2-b_1^2)}}\\ \end{align}$$} che, se {$1/2<B_1/B_0=b_1$}, ha valore per {$$\begin{equation} b_1 = \sqrt {1 - \frac 1 2 \cos2\gamma} \le b \le \sqrt {1 +\frac 1 2 \cos2\gamma} = b_2 \end{equation}$$} In questo caso la polarizzazione, ribattezzando {$\gamma\rightarrow\delta$}, per riservare {$\gamma$} al rapporto giromagnetico del muone {$$G(t)=\int_{\sqrt{1-\cos2\delta/2}}^{\sqrt{1+\cos2\delta/2}}\left[\frac{x^2-\frac 1 2}{\left(1+\frac 1 2 \cos2\delta-x^2\right)\left(x^2-1+\frac 1 2\cos2\delta\right)}\right]^{\frac 1 2}\cos\gamma x t dx$$} Altrimenti {$1/2=b_0\le b\le b_2$}, lo spettro ha una sola singolarità di Van Hove, ad alti campi, e la polarizzazione vale {$$G(t)=\int_{1/2}^{\sqrt{1+\cos2\delta/2}}\left[\frac{x^2-\frac 1 2}{\left(1+\frac 1 2 \cos2\delta-x^2\right)\left(x^2-1+\frac 1 2\cos2\delta\right)}\right]^{\frac 1 2}\cos\gamma x t dx$$} |