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CadutaGravi

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Esperimento di caduta gravi con webcam

Analisi degli errori

Da un'analisi grossolana errori di prospettiva (non perpendicolarità dell'asse della webcam rispetto alla direzione di caduta) e di aberrazione sferica sembrano trascurabili.

Il mancato parallelismo tra la traiettoria di caduta (la verticale) e il righello viene compensato con una precisa rotazione degli assi di tracker.

La deviazione dalla perpendicolare nel piano perpendicolare al fotogramma può essere stimato in meno di 0.001 (coseno dell'angolo)

Distanze calibrate con righello e traguardi (nastro di carta) su 0 e 60 cm. L'errore di calibrazione delle distanze è presumibilmente 1 mm su 600 mm del righello.

errore relativo 0.002 per eccesso.

C'è un errore ulteriore nel posizionare gli estremi del nastro di calibrazione sull'immagine del righello. Questa può essere stimata dall'errore sulla simile procedura di determinazione della posizione della pallina che cade.

Stimiamolo: l'errore su ciascun fotogramma è calcolato ripetendo tre volte l'intera sequenza di misura e calcolando valor medio e deviazione standard dei tre valori ottenuti. Questa procedura su 13 punti fornisce errori di media 0.001 m e deviazione standard 0.001 m.

Aggiungendo un'incertezza analoga sul posizionamento del nastro di calibrazione si ottiene un errore relativo indipendente di {$\sqrt{2}/600$}.

In definitiva ogni posizione deve avere un errore relativo dovuto alla somma in quadratura di tre errori relativi indipendenti, l'errore sulposizionamento dei traguardi di carta, 0.001, l'errore sulla calibrazione con nastro, {$\sqrt{2}/600$} e l'errore su ciascun punto 0.001 ossia in totale dy/y=0.003.

Calibrazione dei tempi con ripresa di cronometro per 10 s, che richiedono 301 fotogrammi. Ossia un valor medio cronometrico di 0.0333 s/frame. L'intervallo di tempo tra due fotogrammi successivi viene fornito da tracker e presenta fluttuazioni. I tempi registrati hanno un un valor medio di 0.033, una deviazione standard s=0.005 s, (relativa pari a 0.14), ossia un errore sulla media pari a {$s_m=s/\sqrt{299}=0.0003$} (errore relativo di 0.01). Il valor medio quindi è 0.0330(3) s, da tracker, Questo errore è compatibile con il valor medio cronometrico. Possiamo quindi assumere un errore sui tempi pari ad s_m .

Un intervallo di tempo tra due punti consiste in una differenza di due tempi, ed avrà un errore di {$\sqrt 2 s_m$} (relativo pari a 0.02), ovvero il contributo dai tempi all'incertezza sulla velocità è molto maggiore che dalle distanze e quest'ultimo può essere trascurato. Sulle accelerazioni entrambi sono raddoppiati (dy²/d²t) e l'errore atteso è il doppio, 0.04.

Si può addirittura stimare l'errore sull'intera misura da questi dati, trascurando l'errore sulle distanze. Le velocità avranno un errore relativo pari a 0.14, le accelerazioni un errore relativo pari a 0.28. Con 13 punti successivi, si ottengono 11 valori di accelerazione e la media avrà un'incertezza relativa dell'8%.

Sorprese nella misura

In una prima analisi sul filmato registrato da me, ho identificato 13 fotogrammi con la pallina più in basso del punto di partenza. Il primo fotogramma è visibilmente in caduta. L'analisi su questi 13 punti è stata effettuata ammettendo che la caduta iniziasse nel fotogramma precedente, non incluso nell'analisi, ossia a t<0, visto che t=0 coincide con il primo fotogramma. Si è stimato un tempo t₀=-0.025 s e ne è risultato g=11.2(8) m/s².

Tuttavia risulta che tutti i valori di g , deterninati da terne di fotogrammi, sono sistematicamente più elevati del valore noto.

L'analisi precedente non ha fornito sorgenti di errore sistematico così rilevanti.

Questa analisi commette un errore sottile. Supponiamo che l'oggetto inizi a cadere nell'istante in cui è ripreso il primo fotogramma e calcoliamo di quanto risulta cadere nel secondo fotogramma, per {$\Delta t$} =0.033 s:

{$ dy=g {{\Delta t^2}\over2} = 0.0053 \mbox{m}$}

La distanza è quasi entro l'errore di misura e si rischia di ignorare il primo intervallo di caduta. Ritornando all'analis dei dati, se si forza il valore di g=9.81 m/s² si può ottenere un buon accordo con i dati imponendo t₀=-0.048 s ossia 1 fotogramma e due terzi prima di quello in cui la caduta risulta ben visibile.

I punti rappresentano le 13 posizioni registrate con Tracker, la curva rossa rappresenta la caduta con t0=-0.048 s e g=9.81 m/s2, la curva nera la caduta con t0=-0.025 s e g=11.2 m/s2. I punti sono rappresentati con barre d'errore orizzontali e verticali, non molto ben risolte. È evidente che l'analisi soffre di un a forte correlazione tra il valore di t0 e quello di g. O si determina indipendentemente con sufficiente precisione il primo, oppure ne risulta un grosso errore su g.

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