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Problema1

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Quattro cariche sono disposte ai vertici di un quadrato di lato {$l=1$} m, come mostrato nel disegno. La carica sul vertice in alto a destra vale {$q=1\,\mu$}C, quella in basso a destra il doppio, quella in basso a sinista il triplo, ma di segno negativo e infine quella in alto a sinistra il quadruplo. Calcolare: la forza {$\mbox{\it\bf F}$} che agisce su {$q$}; il campo elettrico {$\mbox{\it \bf E}(1)$} che agisce su {$q$}; il campo elettrico {$\mbox{\it\bf E}(2)$} al centro del quadrato; il modulo del campo elettrico {$E(2)$} al centro del quadrato.

Soluzione

1. La forza elettrica su {$q$} č dovuta alle altre tre cariche.

La forza risultante sarā la somma (vettoriale!) delle tre forze dovute a ciascuna carica. Per eseguire correttamente la somma vettoriale conviene sommare le componenti delle tre forze in un opportuno sistema di riferimento. Una possibile scelta č con l'asse {$x$} orizzontale, l'asse {$y$} verticale e l'origine in {$q$}. Č sempre conveniente aiutarsi con un disegno: Abbiamo disegnato il sistema di riferimento e anche le frecce che rappresentano le tre forze da sommare, battezzate per comoditā con un indice. {$\mbox{\it\bf F_2}$} č diretta lungo {$y$}, {$\mbox{\it\bf F_4}$} č diretta lungo {$x$}, mentre {$\mbox{\it\bf F_3}$} ha componenti lungo entrambi gli assi.

Tenendo conto dell'espressione della forza di Coulomb? tra due cariche puntiformi e della distanza si potrā scrivere la componente {$x$} della forza totale, a cui contribuiscono solo {$\mbox{\it\bf F_4}$} ed {$\mbox{\it\bf F_3}$}, come:

{$ F_x = \frac {q^2} {4\pi\epsilon_0\, l^2}\quad [4 \, - \, \frac {3 cos \pi/4} {2}] = 2.63 \, 10^{-2}\, \mbox{N} $}

Il primo termine tra parentesi si riconosce come il contributo, positivo lungo {$x$}, della carica {$4q$}, mentre il secondo termine contiene un fattore 2 a denominatore (il quadrato della diagonale, lunga {$\sqrt 2 l$}) ed un fattore {$cos \pi/4$} a numeratore, che dā la proiezione di {$\mbox{\it\bf F_3}$} lungo {$-x$}. Allo stesso modo si calcola:

{$ F_y = \frac {q^2} {4\pi\epsilon_0\, l^2}\quad [2 \, - \, \frac {3 cos \pi/4} {2}] = 8.4\, 10^{-3}\, \mbox{N} $}

a cui contribuiscono solo {$\mbox{\it\bf F_2}$} ed {$\mbox{\it\bf F_3}$},

2. Il campo elettrico che agisce su {$q$} non č altro che la forza che agisce su {$q$}, divisa per {$q$}, per definizione di campo elettrico?. Possiamo ancora darne le componenti:

{$ E_x(1) = F_x/q = \frac {q} {4\pi\epsilon_0\, l^2}\quad [4 \, - \, \frac {3 cos \pi/4} {2}] = 2.63 \, 10^{4}\, \mbox{N/C} $}

e

{$ E_y(1) = F_y/q = \frac {q} {4\pi\epsilon_0\, l^2}\quad [2 \, - \, \frac {3 cos \pi/4} {2}] = 8.4 \, 10^{3}\, \mbox{N/C} $}

3. Il campo elettrico al centro del quadrato si calcola nel medesimo modo, ma ha ora quattro contributi.

Ciascuna carica contribuisce a entrambe le componenti con un termine pari al modulo del suo campo, proiettato lungo l'asse. Le proiezioni sono date da {$cos \pi/4$} o {$sin \pi/4$}, che peraltro sono uguali. A denominatore tutti i contributi hanno la stessa distanza, metā della diagonale, al quadrato, pari a {$l^2/2$}. Quindi {$ E_x(2) = \frac {2q} {4\pi\epsilon_0 l^2}\, cos {\frac \pi 4 \quad} [-1\,-\,2\,-\,3\,+\,4] = -2.53\,10^{4} \mbox{N/C} $} e infine

{$ E_y(2) = \frac {q} {2\pi\epsilon_0 l^2}\, cos {\frac \pi 4 \quad} [-1\,+\,2\,-\,3\,-\,4] = -7.59\,10^{4} \mbox{N/C} $}

4. Infine il modulo del campo appena trovato č dato da

{$ E(2) = \sqrt{ E_x(2)^2 + E_y(2)^2} = 8.00\,10^{4} \mbox{N/C} $}

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