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AppendiceIntegraleDellaGaussianaVediamo come si calcola l'area sottesa dalla curva {$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx e^{-\lambda x^2}$}. Ci si rende facilmente conto che è più facile ottenere il quadrato di questo integrale, ossia {$I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\, dx e^{-\lambda x^2}\quad\int_{-\infty}^{+\infty}\, dy e^{-\lambda y^2}$}, dove la seconda variabile d'integrazione è stata rinominata y. L'elemento di area infinitesimale dxdy, un rettangolo infinitesimo in coordinate cartesiane, si trasforma nell'elemento di area {$2\pi r dr$} in coordinate polari, arco di anello infinitesimo. Quindi si può sostituire il doppio integrale originale, su rettangoli centrati nell'origine, con x ed y compresi tra meno infinito e più infinito, con l'integrale semplice su r compreso tra 0 e infinito, su cerchi centrati nell'origine. Ovviamente al limite infinito i due domini coincidono. Notando che x2 + y2 = r2 si ottiene {$I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \, dx dy e^{-\lambda (x^2+y^2)}= \int_0^\infty \, 4\pi d(r^2) e^{-\lambda r^2}$}, da cui {$I=\sqrt{{{4\pi}\over{\lambda}}$} Con ciò si ricava che la distribuzione Gaussiana normalizzata (la distribuzione normale) è {$ p(x)={1\over{\sigma\sqrt{2\pi} }} e^{-{1 \over 2} \left({{x-\mu}\over\sigma}\right)^2} $} |